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宜しくお願い致します。
[問]半直線BX、半直線BY(X、Yの方に線は伸びている)があります。
BX上に点Aがあり、BY上に点Cがあります。
∠ABCの2等分線と線分ACとの交点をQ、
∠ACBの2等分線と線分ABとの交点をR、
∠CAX(△ABCの外角)の2等分線と線分CYとの交点をPとすると
(1) P、Q、Rは同一直線上にある事を示せ。
(2) PQ/PR=(BC+CA)/(BC+AB)となる事を示せ。
という問題なのですが(1)は
BP/CP・CQ/AQ・AR/BR=1より、メネラウスの定理の逆から示される事は分かったのですが
(2)はどうするのか分かりません。
どうすれば示せるのでしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
#1の最初に書いたような理由からBR:RA=BC:CA
となります。したがって、
BR:(BR+RA)=BC:BC+CA
BR/(BR+RA)=BC/(BC+CA)
となることが分かります。
同様に、AB:CA=BP:PCからBP/(BP-PC)=AB/(AB-AC)
したがって、
(BP/(BP-PC))*BC:(BR/(BR+RA))*AB
=(AB/(AB-CA))*BC:(BR/(BR+RA))*AB
=(AB/(AB-CA))*BC:(BC/(BC+CA))*AB
となります。
No.1
- 回答日時:
三角形ABCにおいて、∠BACの二等分線(※)と直線BCの交点をPとしたとき、
BA:AC=BP:PC
が成り立ちます。
なお、これは、※が、外角の二等分線であっても成り立ちます。
(1番が分かっているということなので、ご存知とは思いましたが、2番はこれしか使わないので、何となく書きました)
図書けず、文章でごたごた書いてもかえって分かりにくいので、略解のみ。分からない点があれば補足を。
PQ:QR
=BP:BR
=(BP/(BP-PC))*BC:(BR/(BR+RA))*AB
=(AB/(AB-CA))*BC:(BC/(BC+CA))*AB
=BC+CA:AB-CA
PQ:PR
=PQ:PQ+QR
=BC+CA:BC+AB
PQ/PR=(BC+CA)/(BC+AB)
この回答への補足
ご回答大変ありかどうございます。
> =(BP/(BP-PC))*BC:(BR/(BR+RA))*AB
> =(AB/(AB-CA))*BC:(BC/(BC+CA))*AB
これは多分、
BR:AB-AC=BP:AC+BC
(つまり、BR/(AB-AC)=BP/(AC+BC))
からいえるのでょうけど
これは何故いえるんですかね?
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