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f(x,y)の原点における連続性を調べよ。という問題を教えてほしいです。
f(x,y)=(x+y)sin(x/y) (yは0でない)
0 (y=0)

質問者からの補足コメント

  • 出来ればx=rcosθy=sinθでもやってほしいです。

      補足日時:2021/11/17 16:39
  • 出来ればx=rcosθ、y=rsinθでもやってほしいです。

      補足日時:2021/11/17 16:40

A 回答 (2件)

> 出来れば x = r cosθ, y = r sinθ でもやってほしいです。



わりと綺麗な解答を示したのに、なぜ
わざわざ汚い答案を欲しがるのかなあ...
気持ちが解りません。

No.1 で「どんな経路を通って (0,0) に近づいても」と書きました。
それは、x = r cosθ, y = r sinθ で置換した場合、
θ が r のどんな関数であっても、lim[r→0] f(x,y) = 0 であること
を意味します。 よく分かっていない人のやりがちなこととして
θ がどんな定数であっても lim[r→0] f(x,y) = 0 であること
を示してしまう誤答があるので、気をつけましょう。
それでは、 lim[(x,y)→(0,0)] f(x,y) = 0 を示したことにはなりません。

| f(x,y) - 0 | = | (r cosθ + r sinθ) sin(cotθ) or 0 |
     = r | (cosθ + sinθ) sin(cotθ) | or 0
     = r | cosθ + sinθ | or 0
     = r √2 or 0
     → 0 {when r→0}.

肝心な部分は | sin(なんとか) | ≦ 1 だけですから、
どちらで書いても式変形の見栄えはあまり変わりませんが。
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この回答へのお礼

わざわざありがとうございます。

お礼日時:2021/11/18 18:29

2変数関数の極限ですね。


lim[(x,y)→(0,0)] f(x,y) = 0 であるかどうかを調べればよいです。
この式は、(x,y) がどんな経路を通って (0,0) に近づいても
f(x,y) が 0 に近づくことを意味しています。

| f(x,y) - 0 | = | (x+y)sin(x,y) or 0 | ≦ | x+y | → 0 { when (x,y)→(0,0) }
ですから、 lim[(x,y)→(0,0)] f(x,y) = 0 と言ってよいです。
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