剛体の滑車の問題です。 αとβを図のように設定すると、 加速度と角加速度の関係は α+β=aω･(オ

剛体の滑車の問題です。

αとβを図のように設定すると、
加速度と角加速度の関係は
α+β=aω･(オメガドット)

となります。

私は加速度αで円板が降下すると紐が緩み、その分加速度βが紐をひっぱり、紐をピンとはるイメージで立式しました。
このイメージで正しいのですか？

どなたかご教授ください。
よろしくお願いします。

またβを上向きに設定すると、
α-β=aω･(オメガドット)
になると思うのですが、これも式から直感的に理解できません。
というか、この二式目は成立するのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/05/14 19:04

αとβが何であるか書いて無いけど

①αは剛体動滑車の並進加速度
②βは重りの加速度

とします。

滑車がXa、重りがXb移動すると
(Xaは滑車の並進移動量、Xbは重りの移動量)
滑車の右端から重りの上端までの距離はXa+Xbだけ増えますから
滑車は θ回転して紐を繰り出す必要があります。つまり
aθ=Xa+Xb

両辺を2回時間で微分して
a(dω/dt)=α+β

しかし、円板が降下して紐が緩むはず無いけど
どういう理屈?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。スッキリしました。
助かりました！

お礼日時：2023/05/15 02:04

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/14 18:12

＞私は加速度αで円板が降下すると紐が緩み

どうしてそうなる？
ヨーヨーを落下させても、糸は「引っ張られ」でしょう？
糸を引っ張り、その「摩擦」で回転するのですよ。

答を出す以前に、正しく現象を把握しなければいけません。

そこに書いてあるとおり、「糸の張力」（同じ糸だから、左右で同じ大きさ）を考えて、

・右の物体は、重力と張力の差で下向き加速度 β を生じる。
　運動方程式は、下向きを正として
　　mβ = mg - T　　　①

・左の滑車は、重力と張力の差で下向き加速度 α を生じる。
　運動方程式は、下向きを正として
　　Mα = Mg - T　　　②
　かつ、（a とアルファが紛らわしいので、滑車の半径を r と書きます）トルク rT によって回転角加速度 dω/dt を生じる。（図のωが何を表しているのか分からないが、通常は「角速度」に使うことが多い）
　運動方程式は、滑車の慣性モーメントを I として
　　rT = I･dω/dt　　　③

　滑車は円板なので、その慣性モーメントは
　　I = (1/2)Mr^2
なので、③は
　　rT = (1/2)Mr^2･dω/dt　　　③'

・ここで、右と左の物体の間には
　　α + β = r･dω/dt　　　　④
　の関係がある。
（右の下向きと、左の下向きは逆向きであることに注意）

もし、左側の下向きを正として、右側はそれに従って「上向きを正」とするなら
　①は　mβ = T - mg　　　右側が落下するなら β<0 となる
　④は　α - β = r･dω/dt
となります。

あなたの疑問は、「正の向きの取り方」だけの話かと思います。

この回答へのお礼

確かに私の疑問は正の取り方の問題だったかもしれないです。
説明が丁寧でかなり分かりやすかったです。
ありがとうございました！

お礼日時：2023/05/15 02:05

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/14 17:49

滑車の加速度

＝滑車が振れている糸の加速度＋その糸に対する滑車の相対加速度　
という公式を考えれば2式とも成立がわかりますよ。

この回答へのお礼

相対速度で考える視点は完全に見落としていました。
ありがとうございました！

お礼日時：2023/05/15 02:05