A 回答 (6件)
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No.1
- 回答日時:
「3次関数のとき重解が極大値、極小値を持たない理由は解が一つで、大小関係が生まれないからですよね?」ってどういうこと? そもそも 3次関数の「重解」や「解」ってどういうもの? 「重解が極大値、極小値を持たない」とはどういう意味? 「解が 1つ」で「何の」大小関係が「生まれない」といっている?
「この問題の場合x=0は決まっているのでそれ以外のもう1つが求まれば、x=0と比較できると思うのです。」の「x=0は決まっている」とは「何が」決まっているといっていて, 「それ以外のもう1つ」は「もう1つ」の「何」を求めることをいっている?
数学よりも前に日本語の勉強しよっか.
No.3
- 回答日時:
写真の「指針」にも書いてあるように、
微分可能な関数 f(x) が x=p で極大値を持つ
⇔ x=p の前後で f’(x) の符号が正から負に変わる
です。
今回の問題の f(x) は、f’(x) が三次関数で、しかも
三次項の係数が 1 ですね。
三次の係数が正であるような三次関数が重根を持つ場合
のグラフを書いてみましょう。下図の②④のようになります。
f’(x)=0 の解 x を跨ぐとき、f’(x) の符号は、
重根>0 ならば 負→正→正,
重根<0 ならば 負→負→正 となって、
正→負 にはなりませんね。だから、極大値はありません。
ちなみに、
f’(x)=x(x^2-6x+9k) では x=0 は三重根にはなりませんが、
f’(x) が三次項の係数が正の三次関数で三重根を持つ場合にも
四次関数 f(x) は極大値を持ちません。
f’(x) の符号変化は 負→正 となって、
正→負 にはなる場所がありませんから。
No.4
- 回答日時:
係数が実数の 3次方程式の解は、
必ず 1つ以上の 実数解があります。
f(x) が3次式ならば、f'(x) は 2次式になります。
つまり f'(x)=0 が 重解を持つと云う事は、
接線の傾きが 0 のなる点が 1つしかないことになります。
グラフで考えれば 分かる通り その1つの点は 変曲点 になります。
(画像のグラフでは 上のグラフの 上の曲線に なります。)
No.5
- 回答日時:
図の通り
f(x)=x^4-8x^3+18x^2
の導関数
f'(x)=4x(x-3)^2=0
は
重解x=3を持つけれども
f(x)=x^4-8x^3+18x^2
は
極大値を持たない
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