双曲三角形の合同条件 1.三辺相等 2.二辺夾角相等 3.二角夾辺相等 の3つの証明を教えてください

双曲三角形の合同条件
1.三辺相等
2.二辺夾角相等
3.二角夾辺相等
の3つの証明を教えてください

質問者からの補足コメント

• >>>実際に 紙に三角形を書いてみてください。
  例えば、３辺が等しければ 同じ三角形にならざるを得ませんよね。
  
  他に三角形が出来ないという証明は出来ないと思います。
  
  >>>合同であれば 2辺とその夾角は 当然同じですよね。
  1辺とその両端の内角が等しければ残りの2辺も同じにならざるを得ないでしょ。
  
  合同であればそうですが、そうであれば合同かはわからないです。必要条件と十分条件が逆転してますね。

    補足日時：2023/10/24 21:31

• 皆さんご回答ありがとうございました。自分で納得のいく解法を見つけたので補足として残しておきます。
  
  双曲三角形について3辺の長さをそれぞれa,b,cとし、向かい合う角をそれぞれα,β,γとするとき次が成り立つ。
  (双曲)余弦定理
  cosh c = cosh a・cosh b - sinh a・sinh b・cos γ
  第二余弦定理
  coh c = (cos α・cos β + cos γ)/(sin α・sin β)
  
  これらの定理は証明していませんが、必要であればまた補足します。
  合同の定義を3辺3角が等しいこととします。
  
  (1の証明)3辺相等
  余弦定理より
  cos γ = (cosh a・coh b - cosh c)/(sinh a・sinh b)
  3辺a,b,cは一定なので角度γの値は一定になる。
  α,βでも同様に言えるので3辺3角が一意に定まる。
  
  続く...

    補足日時：2023/10/28 02:17

• (2の証明)2辺夾角相等
  余弦定理の原型より
  a,bとその間の角γの値でcの長さが決まる。
  よってa,b,cが一定なので1(3辺相等)より3辺3角が一意に決まる。
  
  3の証明前に双曲三角形のもう一つの合同条件
  4.3角相等
  について証明します。

    補足日時：2023/10/28 02:40

• ここでは双曲面積はπ-(α+β+γ)で表せることを用います。(角度だけで面積が決まる)
  これについても証明が必要であればまた補足します。
  
  (4の証明)3角相等
  3つの角α,β,γを0<α+β+γ<πを満たすように任意に与える。
  単位円板モデルで原点で角度αで交わる2本の双曲直線L1,L2を固定する。
  このときPSU(1,1)によって合同変換が行えるのでL1は実軸としてよい。
  L3を領直線と交わり、L1との交角をβに保って好転を原点から単位円周まで動かしていくと原点付近ではほとんど通常の三角形なのでγ≒π-(α+β)で単位円周に近づくとγ≒0になる。
  その間ではγは連続に変化するので中間値の定理より与えられたγと一致するL3の存在がわかる。
  一意性は双曲面積を求める式より示せる。(長くなるので割愛)
  よって3角が決定した三角形はPSU(1,1)で変換されたもの以外できない。

    補足日時：2023/10/28 02:51

• (3の証明)2角夾辺相等
  第二余弦定理の原型より
  α,βとその夾辺(c)でγの値が決まる。
  α,β,γが一定になるので4より成り立つ。
  
  以上自問自答でした。
  双曲平面の「世界」では三角形の面積が角度によって決まるので相似という概念がなく角度が同じならば合同になってしまうんですね。
  自分が知らない「世界」を考えるのは難しいですがこれからも頑張って勉強していきたいと思います。
  またわからないことがあれば質問を投げかけさせていただきます。改めましてご回答ありがとうございました。

    補足日時：2023/10/28 03:03

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/25 08:52

まず、合同とは何かの定義が必要ですね。

通常、1.を合同の定義とします。
問題は 2. 3. が 1. と同値か否かということになります。
ユークリッド幾何での同値性の証明は
中学の教科書にも載っていますが、
双曲幾何は非ユークリッドなので、
平行線を使わずにそれが証明できるかどうかですね。
少し考えてみます。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/25 13:50

ユークリッドも公準5が気になったと見えて、言論命題1～言論命題28は、公準1～4までしか使ってません。

双曲幾何も公準1～4はユークリッドと同じですよ。
なので、言論命題を調べたら？
それがそのまま双曲三角形の合同条件の証明にもなってます。

原論命題8　(三辺相等)
2つの三角形で3辺がそれぞれ等しいなら合同である。

原論命題4　(二辺夾角相等)
2つの三角形で2辺とその間の角がそれぞれ等しいなら合同である。

原論命題26　(二角夾辺相等)
2つの三角形で対応する1辺が等しく，対応する2角がそれぞれ等しいなら合同である。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/10/24 21:08

例えば 下記のようなサイトがあります。

https://study-search.jp/columns/314
3つの 合同条件は 当たり前のこととして書かれていますね。
実際に 紙に三角形を書いてみてください。
例えば、３辺が等しければ 同じ三角形にならざるを得ませんよね。
合同であれば 2辺とその夾角は 当然同じですよね。
1辺と その両端の内角が等しければ
残りの2辺も 同じにならざるを得ないでしょ。

中学生ならば 教科書に書いてある筈です。（多分 2年生？）