(至急です！）中三数学 関数の変域

数学の関数の変域の問題でいまだにわからないです。

１）関数 y=ax^2について、ｘの変域がー６≦ｘ≦２のときのｙの変域は０≦ｙ≦１８である。aの値を求めよ。答えが a=1/2で式にー６と１８を代入したんですが、なぜー６と０や２と１８の組み合わせじゃないんでしょうか？
２）関数ｙ＝３ｘ＾２について、ｘの変域がー１≦ｘ≦ｐのときのｙの変域は０≦ｙ≦１２である。ｐの値を求めよ。答えがｐ＝２です。

こういう変域の問題に引っかかっています。
１）で言ったように、ｘかｙの変域があげられるときに、どのＸの点が、どのｙの点に対応するのかがわからなくて、困っています。グラフをかかないでわかる方法、こういう問題を早く正確に解ける方法教えてください！

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2023/11/14 11:49

<グラフをかかないでわかる方法、

こういう問題を早く正確に解ける方法教えてください！>
　グラフをかかないでわかる人でも　頭の中ではグラフを書いていますから
グラフを書いて理解するのが　視覚に訴えて一番わかりやすいです
早く解ける方法なんてありません！きっと勉強方法が暗記型なのでしょう
(高校での文系でしょうか！)でも　数学が好きな(高校での理系)人は
複雑な計算や時間をかけて答えの解法を考えることが苦痛ではありませんし
　むしろ　その手間が面白いと思うのです。
高校2年あたりから　殆ど全ての教科で授業が進むスピードが段違いに早く　また
暗記なら覚えなければならない量がけた違いに増えるので　ついていけない人が出てきますので　暗記型の人は文系に進むようですね！だから
暗記よりも　理系に進むならば理解中心に勉強方法を変えないといけないでしょう！

1) y=ax^2 において　定義域は　－6以上2以下　値域は　０以上18以下
であり　頭の中でグラフをイメージすれば　この関数は　x=0 において
左右対称なので　x=－６ の時の値域の方がx=2よりも大きい値なので
18=a(-6)^2 =36・a ∴ a=18/36=1/2 　　.........適する
また　aが 0 以下　の場合は　値域は ０ 以下になるので条件にあわない！
グラフを書かないでの回答を書きました　どうですか？　グラフを書いた方がわかりやすいと思いませんか？

2) y=3x^2 定義域は　－１以上p以下　値域は　０以上12以下
この関数も　x=0 軸の式で　下向きの形で左右対称になるので　まず
x= -1　のときの yの値は　3(-1)^2=3 であり　12よりも小さい値なので
p はこの関数が下向きで左右対称の観点から　x=1 の値よりも大きい値になるから　p>1 となるので
12=3p^2 より　p^2=12/3=4= (±2)^2 故に　p=2
こちらも　グラフを書かないでの回答を書きました　どうですか？　グラフを書いた方がわかりやすいと思いませんか！？
どちらも　頭の中にグラフが描いていないと回答できないでしょう！

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/07 22:54

＞ グラフをかかないでわかる方法、こういう問題を早く正確に解ける方法

いや、グラフ書けよ。それが、早く確実に解ける方法なんだから。

１）
a>0, a=0, a<0 で関数のグラフの形は大きく異なって、
a>0 の場合は、x=-6 のときが y の最大値、 x=0 のときが y の最小値 0.
a=0 の場合は、y はどの x に対しても y=0.
a<0 の場合は、x=-6 のときが y の最小値、 x=0 のときが y の最大値 0.
だから、
y の範囲が ０≦y≦１８ だというのなら、a>0 であって
x=-6 のとき y=18. よって、18=a(-6) を解いて a = 1/2.

２）
y = 3x^2 のグラフを描いて考えれば、
p<0, 0≦p<1, p≧1 でグラフの様子が違うことに気がつく。
p<0 の場合は、x=-1 のときが y の最大値、x=p のときが y の最小値。
0≦p<1 の場合は、x=-1 のときが y の最大値、x=0 のときが y の最小値 0.
p≧1 の場合は、x=p のときが y の最大値、x=0 のときが y の最小値 0.
だから、
ｙの範囲が ０≦ｙ≦１２ だというのなら、p≧1 であって
x=p のとき y=12. よって、12=3p^2 を解いて p = 2.

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/11/07 21:01

例えば、a=1 の時 y=x² のグラフは イメージ出来ますか。

多分 教科書にも 書いてあると思いますが。
「グラフをかかないでわかる方法」って、
グラフは書かなくて良いですよ。
頭の中で イメージすればよいです。

y=ax² のグラフは 原点を頂点とする 放物線です。
２次関数は y の値になる x の値は 必ず２つあります。
従って x=2 の時と x=-2 の時は y の値は 同じになります。
当然 x=-6 と x=6 の時も y の値は 同じです。
従って x の値が 軸 から より離れている方が y の値が 大きくなります。
(1) -6≦x≦2 ならば x=-6 の時に y の値が 変域の上限になります。
　　従って 18=(-6)²a → 18=36a で a=1/2 となります。
(2) y=3x² ですから x=-1 では y=3 です。
y=12 になるのは 12=3x² → x²=4 で x=±2 ですが、
　　 -1≦x≦p に合わせると p=2 となります。