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lim[n→∞]a_n = 0
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在し
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|a_n|<ε/2
n_1>n_0+2Σ_{k=1~n_0}|a_k|/ε
となる自然数n_1がある
n>n_1となる任意の自然数nに対して
n>n_1>n_0
n>n_1>2Σ_{k=1~n_0}|a_k|/ε
ε/2>Σ_{k=1~n_0}|a_k|/n
|Σ_{k=1~n}a_k|/n
≦Σ_{k=1~n}|a_k|/n
=Σ_{k=1~n_0}|a_k|/n+Σ_{k=n_0+1~n}|a_k|/n
<ε/2+(n-n_0)(ε/2)/n
<ε/2+ε/2
=ε
だから
∴
lim_{n→∞}|Σ_{k=1~n}a_k|/n=0
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