写真の問題の(2)の解答の赤線部の式変形がわからないです。x=を求めた後、なぜ赤線部のように変形でき

写真の問題の(2)の解答の赤線部の式変形がわからないです。x=を求めた後、なぜ赤線部のように変形できるのでしょうか？
また、余談ですが、x=y±√(y^2-3)はどのような時にx=y+√(y^2-3),x=y-√(y^2-3)となるのでしょうか？
解説おねがいします。

質問者からの補足コメント

• 皆様、回答ありがとうございます。
  x=の式がグラフのどの部分を表しているのかというのがわかりませんでした。ありがとうございました。

    補足日時：2024/01/08 14:48

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/04 10:57

(x>0)

f(x)=(1/2)x+{3/(2x)}
の最小値
α=√3
β>αを満たす実数βに対して
曲線y=f(x)と直線y=βで囲まれた図形を
y軸の周りに1回転させてできる立体の体積をV(β)とすると
図のように立体はドーナッツ型で
青線がx=y+√(y^2-3) の曲線
赤線がx=y-√(y^2-3) の曲線

あるy座標での
立体の外半径Rは
R=x=y+√(y^2-3)
立体の内半径rは
r=x=y-√(y^2-3)
になるから
あるy座標での
断面積は
πR^2-πr^2
=π{(y+√(y^2-3))^2-(y-√(y^2-3))^2}
に
なるから

V(2α)=π∫_{√3～2√3}{(y+√(y^2-3))^2-(y-√(y^2-3))^2}dy
となる

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/04 13:54

あれ？ 投稿完了したはずの回答が消えてる。

最近、このサイトこんなのが多いな。
もう一回書き直すのはメンドだなあ...

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/04 12:53

＞ 式変形がわからないです。

そもそも赤線の式より前に他の V(2α)=... が出てこないから、
式「変形」の話ではないよね？ あるいは、
回転体の体積の公式 V = ∫πx^2 dy は既に念頭にあって、
それがどうやって赤線の式へ変形されるか
って質問なのだろうか。

問題の回転体は、クグロフ型(リング状のケーキの焼型)のような形
をしているわけだが、上記の公式から
クグロフの穴部分の体積が ∫π(y-√(y^2-3))^2 dy,
穴を何かで埋めた台地状の形の体積が ∫π(y+√(y^2-3))^2 dy.

ここで一旦
V(2α) = ∫π(y+√(y^2-3))^2 dy - ∫π(y-√(y^2-3))^2 dy
　　　= π∫(y-√(y^2-3))^2 - (y-√(y^2-3))^2 dy
と一行挟めば親切なのかもしれないが、さすがにそこまで
書かなくとも見れば判るという判断だったのだろう。

ちな、回転体の体積の公式↓ (画面下のほうに、バリエーション一覧あり)
https://manabitimes.jp/math/1363

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/01/04 08:24

>x=を求めた後、なぜ赤線部のように変形できるのでしょうか？

変形じゃなくて、回転体の体積を求めている。
回転体の体積を求める公式は知りませんか？

１価関数 f が有って
x=f(y)
なら、y=α～βの領域の回転体の体積は
V = π∫[α→β]{f(y)}^2 dy

回転体を y軸方向の微小距離 dy でスライスすると
回転体は薄い円盤の積み重ねなので
一枚の円盤の体積は π{f(y)}^2 dy
ですから、これを積分したのが体積。
簡単です。

>x=y±√(y^2-3)はどのような時にx=y+√(y^2-3)
>,x=y-√(y^2-3)となるのでしょうか？

図から、y>α の領域で　1個のy の値に対して
xの値が2個あることは明白だと思いますが
わかりませんか？

y軸から遠い方の線で作られる回転体の体積から
y軸に近い方の線で作られる回転体の体積を引いたものが
斜線の部分が回転してできる図形の体積。

図が無いと伝わらないかな・・・

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/01/04 00:24

そもそも「体積を求めるために積分する」ということを全く理解していないみたいですね。

「面積を求めるための積分」（区分求積法）を２次元→３次元に拡張したものであり、そもそもの「区分求積法」を理解しているのでしょうか？

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/01/04 00:13

ちなみに、赤線の積分は

回転体の体積を求める公式として
教科書に載っていると思いますよ

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/01/04 00:08

まず、余談のほうから

例えば、y＝2になるよなx座標が1と3の2つある
即ち
(1、2)と(3、2)があるよというのが
x＝y±√…の式
で、y＝√3になるのはx＝√3だけだから
この点を境に、これより左のグラフは
x＝y-√…で表され
右はx＝y+√…で表される

つぎは赤線、
これは式変形でなく
体積を求めに行ったもの
まずは、回転体を水平に、輪切りにする
輪切りの厚さはΔyの超薄切りにして、下から、上までスライスする
すると、位置yの高さにできた１枚のスライスは、y軸を中心とするドーナツじようで
内側半径がy-√…
外側半径がy+√…である
よって、その断面積は
π×半径の二乗＝
π{(y+√…)²-(y-√…)²}…①
そして、超薄切りだから
このドーナツは上面と下面で半径にほとんど差がなく、両面とも面積は①だと近似してしまう
→超薄切りスライスは、中身をくり抜かれた円柱とみなせる
その体積
＝底面積×高さ
＝①×Δy…②
他の高さにあるスライスも同様に体積を求まる
その総和こそ求める体積で
回転体の体積＝Σ(②式)
となる
でも、やはり近似は近似
少しは誤差がある
そこで、Δyを限りなく、０に近づける
するとΔyは微小を表すdyにかわり
飛び飛びの値の和を示すΣは
連続の値の和を表す∫に代わるから
赤ラインの積分となるわけ
で、いうまでもなく高さ√3から2√3までのスライスの和を求めるのだから
積分範囲もy＝√3から2√3までとなる