（定数a.p.qの値を求めよ） 解説でx＝2で最小値-3をとるからq＝−3と書いてあったのですが何故

（定数a.p.qの値を求めよ）
解説でx＝2で最小値-3をとるからq＝−3と書いてあったのですが何故こうなるのでしょうか。
教えて頂きたいです。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/17 20:07

x=2で最小値-3をとることはありません間違いです

正しくは
x=-2で最小値-3をとるからq=-3
です

(x+2)^2≧0
だから
a>0 ならば
a(x+2)^2≧0
↓両辺にqを加えると
a(x+2)^2+q≧q
だから
y=a(x+2)^2+q の最小値は q

x=-2のとき
y=a(-2+2)^2+q=q
は最小値

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/16 13:12

y = a(x-p)² + q という放物線は、 (p,q) を頂点に持ちます。

a > 0 ならば q が最小値、
a < 0 ならば q が最大値。
a = 0 だと a(x-p)² + q は 2次関数ではありません。

最小値 が -3 だというのは、 ⇔ (a > 0 かつ q = -3) です。
q = -3,
a(1-p)² + q = 6
を解いて a, q の値を決めた後、
a > 0 になってることを確認した
ことを答案に書くのを忘れないようにしたいものです。

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2024/05/16 11:56

実際にグラフを書けばわかるでしょう

xに定義域が設定されていないので　グラフは
a>0　とわかります(a<0 なら最大値しかないので)
その上で　x= -2 を代入すれば　いかなるaの値であっても
最小値(-2,q)は必ず通ることがわかるはずなので
q= -3となるわけですね！

あとは　(1,6) から　6=a(1+2)^2 -3よりa=1となりa>0を満たすのでOK

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/16 11:22

y＝a(x-△)²+□

を、グラフにすると、
その頂点の座標は(△、□)ですよね
aが正なら、グラフの形状は下に凸となり
yは頂点で最小となります

本問においては、与えられた式から
頂点が(-2、q)ですから
(aが正なら)x＝-2のとき最小値はq
だと言えます
問題文には、最小値が-3とあるので
x＝-2のとき、最小値はｑ＝-3
と言う事です

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/16 08:58

定義域(xの範囲)に制限がないというのが大前提。

きっとどこかに書いてあるのでしょう。

a>0 なら x=-2 の時 最小値は q
a=0 でも最小値は q ですね。
a<0 なら最小値は無いので a ≧ 0 は確定。

なので q = -3

x =1 の時 y = 9a -3 = 6 だから a=1 ≧ 0

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/16 00:07

(x + 2)^2 ≧ 0 だから、最小になるのは

　(x + 2)^2 = 0
のときです。

つまり
　x = -2
のとき
　(x + 2)^2 = 0
で y は最小、そのときには
　y = q
です。

No.1 回答者： ぴーなっつばたーさんど。 回答日時： 2024/05/16 00:00

これは、式を見ると軸はx＝−2,最小値がqと分かります。

問題文で最小値は−3とあるので、q＝−3です。