不等式|ax+1| ≦ bの解が -1≦ x ≦ 5のときaとbと求めよ。(麻布大)
上記の問題で
-b ≦ ax+1 ≦ b
-b-1 ≦ ax ≦ b-1
a > 0 のとき
-b-1/a ≦ x ≦ b-1/a
a < 0のとき
b-1/a ≦ x ≦ -b-1/a
a=0のとき
-1≦ x 5≦ にならない
〜〜〜〜
a > 0 のときとa < 0のときで場合わけして
a=-1/2,b=3/2
上記のように解説が書いてあります。
そこで2点質問で
a=0のとき
-1≦ x 5≦ にならない これってなぜですか?
b ≧ 1は全ての実数で成り立ってしまうから(-1〜5の間に収まらない)
また、b < 1にはなり得ない
上記2点の認識でいるのですが合ってますでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>a=0のとき
>-1≦ x 5≦ にならない これってなぜですか?
やってみなはれ。
与不等式は
|1| ≦ b → 1 ≦ b
になって、x の値はどっかに行ってしまうので、「-1≦ x ≦ 5」にはならないでしょう?
No.3
- 回答日時:
補足
2つ目の疑問は、bを先にして考えないのが良いと思います
で、数直線を使って考えると良いですよ
例えば、aが正とすると
(-b-1)/a≦x≦(b-1)/a
は、
(-1/a)-(b/a)≦x≦(-1/a)+b/a
ということだが
この不等式の左辺は、数直線上で
(-1/a)地点からマイナス方向へb/aだけ進んだ位置…A
右辺は、(-1/a)地点からプラス方向へb/aだけ進んだ位置…B
を表してます
ゆえに、(-1/a)地点は、これら2つの位置の中間地点となります
だから、-1≦x≦5となるとき、
すなわち、これら両端の位置A、Bが-1と5であるためには、(-1/a)地点は、中点の+2地点でなければなりません
よって、(-1/a)=2
しかし、これを満たすようなプラスのaは存在しない
だから、a>0という場合わけは、不適切
と考えることができます
No.2
- 回答日時:
a=0だと
-b-1≦0x≦b-1
に当てはまるxが無数にあるか
全くないか
のいづれかになるから
-1≦x≦5にはなりません
(小手調べ
仮にb=1と仮定すると
-2≦0x≦0
その解は全てのx
bを他の値にしても、上記のようなxになることを確認してみるのも良いでしょう…)
2点目
丨ax+1丨≦bと有りますが
絶対値なので、この左辺は0以上です
このことから、bも0以上
これを念頭に
aが正のとき
(-b-1)/a≦x≦(b-1)/a
この不等式の両端が-1と5であれば良いから
(-b-1)/a=-1…①
(b-1)/a=5…2
となればよい
この連立を解くとb=-3/2、a=-1/2
で、aは正、bは正に反していると言うことです
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