y‘=(2x^2-y^2)/xyの解き方について ‘これはダッシュです。インテグラルの記号が見つから

y‘=(2x^2-y^2)/xyの解き方について

‘これはダッシュです。インテグラルの記号が見つからないので∮これにします。

μ=y/xとすると、y=μx、y’=μ+xμ‘
μ+xμ’=2/μ -2μ
xμ‘=(2-2μ^2)/μ
∮μ/(2-2μ^2)dμ=∮1/x・dx
∮μ/(2μ^2-2)dμ=-∮1/x・dx
1/4・log|2μ^2-2|=-log|x|+c
4乗根|2μ^2-2||x|=e^c
(2μ^2-2)x^4=±e^4c
μを元に戻して
2y^2x^2-2x^4=B B=±e^4c

と解いたんですが間違えてるのか教えて欲しいです

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/31 04:45

y'=(2x^2-y^2)/(xy)

y'=2x/y-y/x
μ=y/xとすると、
y=μx、
y'=μ+xμ'
μ+xμ'=2/μ-μ
xμ'=2/μ-2μ
xμ'=(2-2μ^2)/μ
μμ'/(2μ^2-2)=-1/x
∫{μ/(2μ^2-2)}dμ=-∫(1/x)dx
(1/4)log|2μ^2-2|=-log|x|+c
log|2μ^2-2|=-4log|x|+4c
|2μ^2-2|x^4=e^(4c)
(2μ^2-2)x^4=±e^(4c)
(2y^2/x^2-2)x^4=±e^(4c)
2y^2x^2-2x^4=±e^(4c)
↓C=±e^(4c)とすると
2y^2x^2-2x^4=C
2y^2x^2=2x^4+C
y^2=(2x^4+C)/(2x^2)
y^2=x^2+C/(2x^2)

y=±√{x^2+C/(2x^2)}

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2024/05/31 10:13

y‘=(2x^2-y^2)/(xy)

の分母を払って、さらに右辺にyが出てこないようにした
　　x(yy‘) + y^2 = 2x^2
を眺めれば、
　　(yy‘) = (y^2)'/2
ぐらいは気がつくでしょう。右辺にはyが入ってないからどうでもいいんで
　　f(x) = 2x^2
と書くことにすれば
　　x(y^2)'/2 + (y^2) = f(x)
　さて、左辺を「積の微分」の格好にまとめるにはどうする？
　それには2x倍すればよくて
　　((x^2)(y^2))' = 2x f(x)
だな、と気がつくといいなあ。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/31 08:37

μ = y/x って何や？

問題集の解説にあったんかいな。

yy’ = (2x^2 - y^2)/x と変形して y^2 = z と置くと、
(1/2)z’ = (2x^2 - z)/x と書けて、これは
xz’ + 2z = 4x^2 と変形できる。これを
(x^2)z’ + 2xz = 4x^3 と変形することを思いつけば、
積分できるね？

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/05/31 05:37

よくある論法だが、論理が少し甘い。

　μ/(2-2μ^2)dμ=dx/x
において、
　μ²≠1・・・・①
として、議論を進めなければならない。
そして、解は
　B=±e^4c≠0
である。

つまり、一般解は
　y²=B/x²+x²　(B≠0)・・・・②
となるが、①で除いた関係、y=±xも解になっていることはすぐ
わかる。これを特異解という。

②においてB=0とすると、y²=x² → y=±x となり、上の特異
解になっている。したがって、この特異解も含め一般解を
　y²=B/x²+x²　(Bは任意定数)
としている。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/05/31 02:35

間違っているかどうかを知りたいのなら

元の式に代入してみる
のがいいと思うんだ.