途中の整理がわかりません。教えてください dx1(t)/dt=x1(t)~2x2(t) ・・・(1)

途中の整理がわかりません。教えてください
dx1(t)/dt=x1(t)~2x2(t) ・・・(1)
dx2(t)/dt=x1(t)+4x2(t) ・・・(2)

(2)式を変形して
x1= dx2/dt -4x2

(1)へ代入して整理すると

d^2x2/dt^2 - 5dx2/dt + 6x2 = 0・・・(3)

(2)式を変形して(1)へ代入して(3)の式になる過程を詳しく書いて教えてほしいです。

質問者からの補足コメント

• 訂正です。(1)の~はマイナスです。

    補足日時：2024/07/05 00:00

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/05 10:22

画像の通り

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/05 09:03

代入して整理するだけですが

dx2(t)/dt=x1(t) + 4x2(t) → x1(t) = dx2(t)/dt - 4x2(t)
dx1(t)/dt=x1(t) - 2x2(t) 　x1 に代入して
→ d(dx2(t)/dt - 4x2(t))/dt=dx2(t)/dt - 4x2(t) - 2x2(t)
→ d^2x2(t)/dt^2 - 4dx2(t)/dt = dx2(t)/dt -6x2(t)
→ d^2x2(t)/dt^2 - 5dx2(t)/dt + 6x2(t) = 0

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/04 16:09

(2)式を変形して(1)へ代入して

d^2x2/dt^2 - 5dx2/dt + 6x2 = 0・・・(3)
の式になりません

d^2x2/dt^2 - 5dx2/dt + 4x2 = ~2x2

になります

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/04 15:17

(2)式を変形して(1)へ代入して(3)の式になる

途中の整理は、No.1 にあるとおりですが...

(1)(2) を解くのなら、
列ベクトル [ x1(t) x2(t) ] を = v(t) と置いて
行列 A を A =
　　　　　　1　　-2
　　　　　　1　　4
とすると
(1)(2) ⇔ dv(t)/dt = A v(t) となるので、

A を対角化して
A = PD(P^-1),
D =
　　3　　0
　　0　　2,
P =
　　1　　2
　　-1　　-1
と書けば、更に
(1)(2) ⇔ d(P^-1)v(t)/dt = D(P^-1)v(t) と変形できて、
(P^-1)v(t) に関する簡単な微分方程式になります。

(P^-1)v(t) =
　　　　　　A e^(-3t)
　　　　　　B e^(-2t),
ただし、 A, B は定数
と解けるので、この式の両辺に左から Ｐ を掛ければ完了。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/04 11:41

(1) の「~」は何ですか？

dx1(t)/dt = x1(t) - 2x2(t) ・・・(1)

ですか？

そうであれば
　x1 = dx2/dt - 4x2　　　　①
これを t で微分すれば
　→　dx1(t)/dt = d²x2/dt² - 4dx2/dt　　　②

① を (1) の右辺に、② を (1) の左辺に代入すれば
　d²x2/dt² - 4dx2/dt = dx2/dt - 4x2 - 2x2(t)
　　　　　　　　　　= dx2/dt - 6x2
→　d²x2/dt² - 5dx2/dt + 6x2 = 0　　　　(3)

どこが不思議なのですか？