これの(2)でan＞0を確認している理由はなぜでしょうか

これの(2)でan＞0を確認している理由はなぜでしょうか

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/19 19:04

帰納法でb(n)≧1を示すときに,a(n)>0が必要になるのです

P(n)=([b(n)≧1]&[a(n)>0])
とする
P(1)=([b(1)=1≧1]&[a(1)=1>0])は真

ある自然数nに対してP(n)が真と仮定すると
b(n)≧1
a(n)>0

a(n+1)=a(n)+2b(n)>2>0
b(n+1)=a(n)+3b(n)>3≧1

だから
P(n+1)=([b(n+1)≧1]&[a(n+1)>0])も真

すべての自然数nに対してP(n)が真だから


すべての自然数nに対して
a(n)>0
b(n)≧1
が成り立つ
けれども

b(n)≧1
a(n)>0 が成り立つから

b(n+1)=a(n)+3b(n)>3≧1
と
いえるのです

a(n)>0 が成り立つという条件を省いてしまったら
b(n+1)≧1
が成り立たないのです

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/19 19:56

＞ bn＞=1だけでよくないですか

連立漸化式から a( ) を消去して b( ) だけの漸化式を作れば、
b(n) ≧ 1 だけでもいけるかもしれません。

問題に与えられたとおり、a( ), b( ) の連立漸化式のままで扱おうと思ったら、
a(n) ≧ 1, b(n) ≧ 1 をセットで扱う必要がありますし、そのほうが簡単です。
やり方は、No.1 に書いたとおりです。

No.3 回答者： あかひむの 回答日時： 2024/08/19 15:09

別に不要です

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/19 10:40

P(n)=([a(n)≧n}&[b(n)≧n])

とする

P(1)=([a(1)=1≧1}&[b(1)=1≧1])は真

ある自然数nに対してP(n)が真と仮定すると
a(n)≧n
b(n)≧n

a(n+1)=a(n)+2b(n)≧3n≧n+1
b(n+1)=a(n)+3b(n)≧4n≧n+1
だから

P(n+1)=([a(n+1)≧n+1}&[b(n+1)≧n+1])も真
だから
すべての自然数nに対してP(n)が真だから
すべての自然数nに対して
a(n)≧n

任意のKに対して
n0>Kとなる自然数n0が存在する
n>n0となる任意の自然数nに対して
a(n)≧n>n0>K
だから
極限の定義から
∴
lim[n→∞]a(n)=∞

この回答へのお礼

bn＞=1だけでよくないですか

お礼日時：2024/08/19 18:19

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/18 22:20

「帰納法で」ってのが、

n=k のとき a(n) > 0, b(n) ≧ 1 が成り立てば
a(k+1) = a(k) + 2b(k) > 0 + 2・1 = 2 > 0,
b(k+1) = a(k) + 3b(k) > 0 + 3・1 = 3 ≧ 1
より、n=k+1 のときも a(n) > 0, b(n) ≧ 1 が成り立つ
ってやっているからです。

なぜ a(n) ≧ 1 としなかったのかは、気持ちが解りませんが、
a(n) > 0 でも問題は特にないですよね。

この回答へのお礼

bn＞=1だけでよくないですか

お礼日時：2024/08/19 18:19