定積分の微分を表す公式

定積分の微分を表す公式によれば、
d/dx∮1からxまで(3t^2+2t+4)dt=3x^2+2x+4
ですが、

この公式は何のためにあるのでしょうか。
どう言う時に、便利なのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/07 13:14

F(x) = ∫f(x)dx のとき f(ｘ) = (d/dx)F(x).

この定理は、「微積分学の基本定理」と呼ばれ、
解析学の根底をなすものです。
数学史上、全く別のものとして発展してきた微分と積分が、
この定理によって関係づけられたのです。

公式としてどう便利か？っていうと...
定義に基づいて積分を計算するのは、たいへんというか
不可能な場合が多いので、この定理によって
「その積分なら知ってるよ、ほら微分したら被積分関数になるでしょ」
という解法が可能になることが、実用上重要なのです。
(d/dx) x^3 = 3x^2 を知ってることによって
∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C が計算できるようになるのは、
この定理によります。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2024/10/10 19:24

ちなみに本題からは外れますが、質問文に書かれていた「∮」と言う記号は閉曲線全体や閉曲面全体で積分する場合に用いる記号です。

高校数学にも出て来る普通の積分は「∫」です。

(「せきぶん」を変換したら出て来ました)

この回答へのお礼

∫∫∫

お礼日時：2024/10/17 19:23

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2024/10/10 10:12

最初の回答を一部修正。

「積分とは元々は」と言う書き方だと「現在は高校数学で習うようなものに変わっている」と言った意味合いになってしまいますね。実は積分の定義は現在でも区分求積法のような形になっています。実際大学の数学の本では積分の最初の説明がそうなっています。そして微積分学の基本定理を名前の如く定理として説明しています。

高校数学のような「積分は微分の逆演算」と言う形での導入は恐らく分かりやすさを優先したものでしょうが、それだけだと微積分学の基本定理の意味が分からなくなるので、欲を言えば授業の中の余談の形で「積分の本当の定義は微分の逆演算ではない」と言う事に触れて欲しいと思いました。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2024/10/10 09:34

件の公式とは積分の範囲をaからxまでとして

d/dx∫f(t)dt=f(x)

の事ですよね。これは他の回答にあったように「微積分学の基本定理」と呼ばれる式ですが、具体的な計算のためと言うよりは「微分と積分の関係を明らかにする式」と言ったものです。

現在の高校数学では積分の事を初めから「微分の逆演算」と言った教え方をするのでこの式の意義が分からないと思います。かく言う私自身高校の数学でこの式を見た時には「当たり前の事をなんでわざわざ勿体つけてるの?」と思ったものでした。しかしながら積分とは元々は現在で言う区分求積法による面積の計算のような形で定義されていて、微分とは直接関係ないものでした。それがこの定理によって高校の数学で習うような「微分と積分は互いに逆演算」と言う事が明らかになったわけです。これはある意味「計算に役立つ」以上に意味がある事です。