大学数学の問題です |r=(x,y,z)のときの1/rのラプラシアンを求めよ r=√(x^2+y^2

大学数学の問題です　|r=(x,y,z)のときの1/rのラプラシアンを求めよ　r=√(x^2+y^2+z^2) ここでは|rをベクトル表記とします

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/05 18:08

合成関数の微分法則と

積の微分法則を使って、
△(1/r) = div grad 1/r
　　　　= div { d(1/r)/dr grad r }
　　　　= div { (-1/r^2) (↑r)/r }
　　　　= div { (-1/r^3) (↑r) }
　　　　= (grad -1/r^3)・↑r + (-1/r^3)(div ↑r)
　　　　= { d(-1/r^3)/dr grad r }・↑r + (-1/r^3)(div ↑r)
　　　　= { (3/r^4) (↑r)/r }・↑r + (-1/r^3) 3
　　　　= (3/r^5)(↑r・↑r) + (-3/r^3)
　　　　= (3/r^5)(r^2) + (-3/r^3)
　　　　= 0.
ただし、
↑r = (x,y,z),
ｒ = ｜↑r｜,
・ は内積を表す。

途中、基本公式として
grad r = grad √(x^2+y^2+z^2)
　　　= ( (∂/∂x)√(x^2+y^2+z^2), (∂/∂y)√(x^2+y^2+z^2), (∂/∂z)√(x^2+y^2+z^2) )
　　　= ( x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), z/√(x^2+y^2+z^2))
　　　= (↑r)/r,
div r = div (x,y,z)
　　　= ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z
　　　= 1 + 1 + 1
　　　= 3.
を使った。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2024/11/12 09:08

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/11/05 18:35

△(1/r)=-4πδ(<r>) , (<.>はベクトル表記)

https://ieyasu03.web.fc2.com/PhysicsMath/2-delta …

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2024/11/12 09:08

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/11/05 12:00

(∂²/∂x²)(1/ｒ)＝(2x²−y²−z²)/{(x²+y²+z²)⁵/²}…①

(∂²/∂y²)(1/ｒ)＝(2y²−x²−z²)/{(x²+y²+z²)⁵/²}…②
(∂²/∂x²)(1/ｒ)＝(2z²−y²−x²)/{(x²+y²+z²)⁵/²}…③
より
△(1/ｒ)＝①+②+③＝0

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2024/11/12 09:08