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大学数学の問題です |r=(x,y,z)のときの1/rのラプラシアンを求めよ r=√(x^2+y^2+z^2) ここでは|rをベクトル表記とします

A 回答 (3件)

合成関数の微分法則と


積の微分法則を使って、
△(1/r) = div grad 1/r
    = div { d(1/r)/dr grad r }
    = div { (-1/r^2) (↑r)/r }
    = div { (-1/r^3) (↑r) }
    = (grad -1/r^3)・↑r + (-1/r^3)(div ↑r)
    = { d(-1/r^3)/dr grad r }・↑r + (-1/r^3)(div ↑r)
    = { (3/r^4) (↑r)/r }・↑r + (-1/r^3) 3
    = (3/r^5)(↑r・↑r) + (-3/r^3)
    = (3/r^5)(r^2) + (-3/r^3)
    = 0.
ただし、
↑r = (x,y,z),
r = |↑r|,
・ は内積を表す。

途中、基本公式として
grad r = grad √(x^2+y^2+z^2)
   = ( (∂/∂x)√(x^2+y^2+z^2), (∂/∂y)√(x^2+y^2+z^2), (∂/∂z)√(x^2+y^2+z^2) )
   = ( x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), z/√(x^2+y^2+z^2))
   = (↑r)/r,
div r = div (x,y,z)
   = ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z
   = 1 + 1 + 1
   = 3.
を使った。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時:2024/11/12 09:08

△(1/r)=-4πδ(<r>) , (<.>はベクトル表記)


https://ieyasu03.web.fc2.com/PhysicsMath/2-delta …
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時:2024/11/12 09:08

(∂²/∂x²)(1/r)=(2x²−y²−z²)/{(x²+y²+z²)⁵/²}…①


(∂²/∂y²)(1/r)=(2y²−x²−z²)/{(x²+y²+z²)⁵/²}…②
(∂²/∂x²)(1/r)=(2z²−y²−x²)/{(x²+y²+z²)⁵/²}…③
より
△(1/r)=①+②+③=0
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時:2024/11/12 09:08

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