x^2y-3xy +5y=25Inxを解ける人 募集してます。 答えは、 y = x^2{C1cos

x^2y-3xy +5y=25Inxを解ける人
募集してます。

答えは、
y = x^2{C1cos(lnx)+C2sin(lnx)}+5lnx+4
ただし、C1とC2は積分定数という感じです。
(※検算しても正しい↑)

計算が煩雑になり
どうしても答えが合わずに困っています。

ちなみに
Symbolabでやると変な答えが出てきます。


以下の写真を参考にして
解ける人がいましたら、

途中過程を含め
正しく答えてくだされば
早いもの順でベストアンサーにします。

計算力に自信がある人
ぜひ回答よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 自分がどこでつまずいているかの補足です↓
  
  写真の左側の解き方でやると、
  写真の右側のように
  特殊解が5lnx+4ならないと言う感じです。
  
  どこが間違っているか説明してくだされば
  ベストアンサーに選定します。

  
    補足日時：2024/11/09 23:06

• 画像が読めないとの声をいただいたので
  2つにして送ります↓前半

  
    補足日時：2024/11/10 00:58

• 後半↓

  
    補足日時：2024/11/10 00:59

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/10 05:39

x^2y"-3xy'+5y=25logx

↓両辺をx^2で割ると

y"-(3/x)y'+(5/x^2)y=(25/x^2)logx

だから

R(x)=25logx

ではなく

R(x)=(25/x^2)logx

です

この回答へのお礼

最初に解答いただいた方は
非常に詳しく解説してくださり、
すごく参考にはなりました。

しかし、

1番早く
「どこが間違っているのかを」的確に
mtrjacpさんが伝えてくださったので、

ベストアンサーに選ばせていただきました。
(補足で書いたような
ベストアンサーの基準を1番
満たしていると思いました)


おかげさまで
特殊解をしっかり5lnx+4と
求めることができました。

間違いをすぐ指摘してくださり
ありがとうございました♪

また縁があったらよろしくお願いします

お礼日時：2024/11/10 19:33

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/11/10 00:45

画像が読めない・・・・

ただ、面倒そうな方法を取る必要はないかと。書いたように、単なる多項式の特殊解なので.

この回答へのお礼

そうですよね〜
めんどそうな方法にしか僕にも見えません。

しかし、
教授にそのやり方でやるよう言われたので
解けずに困ってます(^ω^;)

画像がわかりやすいように
半分に分けて送ってみました。

これで
見づらいものだったら
画像で送るのは諦めようと思います。

よろしければ間違っているところなど
教えてくださると嬉しいです。

お礼日時：2024/11/10 01:04

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/11/10 00:12

2階オイラーの方程式は

u=logx
とおくと
２階定数係数微分方程式になりますから、解法は自明です。
https://physnotes.jp/diffeq/diffeq_2ndeuler/

特殊解の求め方うんぬんという意味が不明だが、 u=logx と変数変換すると
　y''+(a-1)y'+by=25u
なので、通常、多項式 y=α+βu+γu²　として係数を求めます。

しかし、微分演算子法で
　(D²+(a-1)D+b)y=25u → (D²-4D+5)y=25u
→ y={1/(D²-4D+5)}25u
として、山辺の方法を使うのがクールです。

https://www7b.biglobe.ne.jp/~hxbdy/old_math_pdf_ …

5u+4
______________________
5+4D+D²|25u
|25u+20+0
| 20+0
---------------
0
となり、即、特殊解　5u+4 　が分かる。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/11/09 22:02

後出しの解法ですが。

1.
まず、
　x²y''-3xy' +5y=25logx
の特殊解を求めるため、(解から)予想して
　y=alogx+b
とおく。すると与式は
　x²(-a/x²)-3x(a/x)+5(alogx+b)=25logx
→ -a-3a+(5a-25)logx+5b=0
これが恒等式となるには
　-4a+5b=0, 5a-25=0 → a=5, b=4
したがって、特殊解は
　y=5logx+4

2.
したがって、次の斉次式の一般解を求めればよい。
　x²y''-3xy' +5y=0・・・・①
同様に、(解から)予想して
　y=zx²
とおくと
　y'=2xz+x²z', y''=2z+4xz'+x²z''
だから、与式は
　x²z+x³z'+x⁴z''=0 → z+xz'+x²z''=0・・・・②
さらに
　x=e^u (u=logx)
とおくと
　z'=(dz/du)du/dx=(dz/du)/x
　z''=(z')'=((d²z/du²)/x)/x+(dz/du)(-1/x²)
　　　　　=(d²z/du²)/x²-(dz/du)/x²
従って②は
　z+(dz/du)+(d²z/du²)-(dz/du)=0
→ z+(d²z/du²)=0
これは、単振動の式なので、一般解は良く知られたように
　z=Acosu+Bsinu → z=Acos(logx)+Bsin(logx)
zをyに戻して
　y=x²{Acos(logx)+Bsin(logx)}
となる。

特殊解を加えて元の式の一般解は
　y=x²{Acos(logx)+Bsin(logx)}+5logx+4

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

別の方法では解けてはいましたが

どうしても最初に送った写真の解き方だと
答えの特殊解が25x^2lnxとなってしまい
困っています。

この解き方で解くように教授に言われており、
できればこの解き方で解いて
下さると嬉しいです。

とは言いつつも、
文章だけでこの解き方で
解くのは難しいと思うので、
自分がどこでつまずいているかを
補足の画像として、1番上に貼り付けておくので

どこが間違っているかさえ伝えてくださり

特殊解が5lnx+4 となるように説明してくだされば
ベストアンサーに選定します。

よろしければお願いします( ^ω^ )
せっかく答えていただいたのに、申し訳ないですが
この質問について答えてくださるとすごく嬉しいです。

よかったらよろしくお願いします

お礼日時：2024/11/09 23:04