D={(x,y)|0≦x^2+y^2≦4}のとき、∬D√(2x^2+2y^2+1)dxdyの値

を求めたいのですが、解法を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/15 09:42

まあ普通に、極座標へ置換でしょうね。

D = { (r cosθ, r sinθ) ｜ 0 ≦ r ≦ 2, 0 ≦ θ < 2π }
と置くことができ、

∬[D] √(2x^2+2y^2+1) dxdy
= ∫[0≦θ<2π] ∫[0≦r≦2] √(2r^2+1) rdrdθ
= { ∫[0≦θ<2π] dθ }{ ∫[0≦r≦2] √(2r^2+1) r dr }
= { 2π - 0 } [ (1/2)(1/2)(2/3)(2r^2+1)^(3/2) ]_{r=0→2}
= 2π (1/6){ 27 - 1 }
= (26/3)π.

ところで、高校の教科書って、
θ の区間が開端になることについて
どう教えているんだろう？

この回答へのお礼

解答までお示しくださってありがとうございました。

お礼日時：2024/11/15 09:56

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2024/11/15 09:46

極座標に変換して置換積分です。

　　∬[(x^2+y^2)≦R] f(x,y) dx dy
　　　= ∫[0≦θ≦2π] (∫[0≦r≦R] f(r cosθ, r sinθ) |r| dr) dθ
ってやればいいですね。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/11/15 09:56

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/11/15 01:25

ふつうは置換積分かなぁ.

この回答へのお礼

お礼日時：2024/11/15 09:56