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円筒導体内における磁場についての質問なのですが

http://www.kagaku.info/faq/ampere991116/index.htm

に円筒導体内の磁場は打ち消しあい0になるという記述があります。
これは本当なのでしょうか。これが本当なら表面のみを電流が流れる場合と全体を一様に電流が流れる場合では発生する磁場が同じになり、表皮効果も起こらないように思えます。
自分としては「ここから大学に入って習うことですので…」の解析でビオサバールの式が間違っているように思えます。

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表皮 効果」に関するQ&A: 表皮効果-2

A 回答 (1件)

ご質問で参照されているURLでは、円筒(円柱の表面(半径r0の位置))だけに電流が流れている場合を扱っているようです。



円柱に一様に電流が流れている場合には、円柱内部の磁界は0にはなりません。
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この回答へのお礼

すいません、早とちりしてしまいました。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2007/11/15 18:48

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Q円筒導体の磁界

今、勉強していて、疑問に思っているのですが、無限長の直線状電線が作る磁界の強さは、Hを磁界の強さ、Iを電流、rを半径とすると、H=I/2πrとなると思うのですが、無限長の円筒導体の磁界は、どういう式で表せばよいのですか、ちょっと困っています、アドバイスがあればよろしくお願いします。

Aベストアンサー

無限長パイプ状の円筒導体に直接電流を流したときにできる磁界を求めることになります。
>無限長の直線状電線が作る磁界の強さは、Hを磁界の強さ、Iを電流、rを半径とすると、H=I/2πrとなると思うのですが
を求めた時と同様にMaxwellの方程式を境界条件を考慮して解けばよいわけです。磁界は軸方向には0、周方向の磁界Hについては

  (1/r)δ(rH)/δr=i

(1) i=0 0<r<a
(2) i=io a<r<b
(3) i=0 b<r

aはパイプの内半径、bはパイプの外半径
io(πb^2-πa^2)=I

という境界値問題を解くことになり、(1)~(3)の順に解いていけばとけます。答えはH=I/2πrに似た形になります。(1)ではH=0です。

Q半径aの空洞を持つ円柱導体の周りに発生する磁場について

円柱全体の半径をb,中空部分の半径をaとした無限に長い円柱導体を電流がI流れていて,今円柱の中心から距離dだけ離れた点を逆向きに無限に長い導線に電流I'が流れていて,その導線が単位長さあたり受ける力を求めよという問題なのですが,
F=I×Bから半径aの中空部分の中心が円柱の中心と一致する場合は,空間の対称性より∫Hdlは半径dの円を積分路に取るとI/2πdと簡単に求まるのですが,中空部分の中心がずれた円柱に同様に電流Iを流した場合,導線の受ける力は変わるのでしょうか。

つまり,距離dの円周上における磁場Hは変わるのでしょうか。
もし変化するのであればどのような形になるのでしょうか。
僕は磁場Hが等しくなる点の集まりは円にならず,導線の受ける力は変化すると思うのですが。。。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

導体内を均一に電流が流れている場合には、磁界の強さは変化するでしょうね。

考え方としては、
半径bの中実の導体bにI2の電流が流れているときの中心からr離れているところの磁界H2

半径aの中実の導体aに、上記導体とは逆向きの電流-I1が流れているときに、導体中心からr-x (xは導体aの中心とbの中心の間隔)の場所の磁界H2
を計算して、
全体の磁界を
H1+H2で求めれば求まるかと思います。

で、穴の中心が導体中心と一致しているときは、導体a,bの中心が一致(x=0)で計算できて、穴の中心がずれるとbの位置をずらした計算結果になるかと。
(導体bの位置が動くので、H2が変化して、Hが変化、全体の電磁力も変化するかと)

(I1はb^2/(b^2-a^2)I, I2はa^2(b^2-a^2)Iとなるかと)

Q円筒導体の磁界の強さ

今、電気の資格の勉強をしているのですが、円筒導体の磁界の強さについて、戸惑っています。電流は導体内に、一様に流れていて、円筒内と円筒外の磁界の強さについて、理解にくるしんでいます。参考書には、アンペアの周回積分の法則とビオ・サバールの法則とかいてあるのですが・・・なにか、わかりやすい説明などを知っているかた、どうぞよろしくお願いします。

Aベストアンサー

円筒導体の内部および外部の磁界の強さを求めるにはアンペアの周回積分の法則、ビオ・サバールの法則など、いろんな方法が使えますが、基本に帰れば、マクウスウエルの電磁界の方程式を境界条件に従って解くだけの話です。磁界H→はベクトルで、円筒座標系(r,θ,z)において各成分(Hr,Hθ,Hz)を求めれば完了です。磁界H→が満たす方程式(マクウスウエルの方程式)は
    rotH→=i→     (1)
i→は電流密度ベクトルで導体内では一定値ic、外部では0でz成分のみです。導体の半径をa,全電流をIとするとic=I/πa^2、またH→は軸対称でz方向によらないとします。つまりrの実の関数です。H→=(Hr(r),Hθ(r),Hz(r))とします。
 円筒座標系のrot等、ベクトル解析の公式を参照してください。このとき(1)は
    -δHz/δr=0               (2)
(δ(r・Hθ)/δr)/r=ic(内部)、0(外部) (3)
です。これらが境界条件を満たし、導体の表面での磁界の連続性を満たすようにすると
     Hθ=rI/2πa^2 (r≦a)
Hθ=I/2πr (r>a)
 となります。 

円筒導体の内部および外部の磁界の強さを求めるにはアンペアの周回積分の法則、ビオ・サバールの法則など、いろんな方法が使えますが、基本に帰れば、マクウスウエルの電磁界の方程式を境界条件に従って解くだけの話です。磁界H→はベクトルで、円筒座標系(r,θ,z)において各成分(Hr,Hθ,Hz)を求めれば完了です。磁界H→が満たす方程式(マクウスウエルの方程式)は
    rotH→=i→     (1)
i→は電流密度ベクトルで導体内では一定値ic、外部では0でz成分のみです。導体の半径をa,全電流をIとするとic=I/πa^2、...続きを読む

Q同心球殻状の導体から作られるコンデンサー 電場 電位差 電気容量

半径aと半径b(a<b)の同心球殻状の導体から作られるコンデンサーを考える。
外側球殻が電荷Qを帯び、内側球殻が電荷-Qを帯びているとし、以下の問いに答えよ。
(1)外側球殻と内側球殻にはさまれた領域の電場を求めよ。
(2)外側球殻と内側球殻の電位差Vを求めよ。
(3)このコンデンサーの電気容量を求めよ。

という問題が解けません。
特に、同心球殻状の導体から作られるコンデンサーの考え方がわかりません。
どなたか解いていただけませんか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的な考え方だけ説明します。
「球面上に一様に分布した電荷qは、球内に電場を作らず、球外では
動径方向を向く電場E(r)=q/(4πεr^2)をつくる」(ε:真空の誘電率)

内球に電荷q1が分布するとき、
0<r<aでE1(r)=0,a<rでE1(r)=(1/4πε)(q1/r^2)
外球に電荷q2が分布するとき、
0<r<bでE2(r)=0、b<rでE2(r)=(1/4πε)(q2/r^2)
実際の電場は、E(r)=E1(r)+E2(r)

電荷は、内球の外面にq1,外球の内面に-q1,外球の外面にq2分布する。

電位は、
φb=∫[0→∞] E(r)dr=(1/4πε)(q1+q2)/b
φa=φb+∫[a→b] E(r)dr=φb+(q1/4πε)(1/a-1/b)

q1=-Q,q2=+Qより、電位差は、
V=φa-φb=(Q/4πε)(1/a-1/b)だから、
C=Q/V=(Q/4πε)/(1/a-1/b)

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Q変位電流ってなんですか!!!???

現在マクスウェルの方程式を勉強しています。

そこでアンペール・マクスウェルの方程式で、変位電流というものがでてきました。しかし、その教科書ではその名前のことしか教えてくれず、調べてもこれと言ったいいものがありません。

式の導出はいいから、結局変位電流ってなんなの?といった具合です。


教えていただけませんか?具体的にどういうものなのか、どういったときに見られる現象なのか?教えていただきたいです。

ちなみにいくつか調べた結果、変位電流は「実際には存在しない電流である」や「コンデンサで交流を流したときにでるものである」という情報を入手しています。


矛盾していて困っています。

Aベストアンサー

 平行板コンデンサーがあって交流電流が流れているとします。コンデンサーにつながる導線には電流(=電荷の移動)があり、導線の周囲には変動する磁場が生じます。コンデンサーの極板の間には移動する電荷が存在しないので電流がありませんが、では、極板間の空間(の周囲)には磁場は生じないのでしょうか。

 そこだけ磁場が発生しない、というのは不自然で、やはりそこにも磁場が生じるはずだと考え、磁場を生じる原因として電場の変化があると考えられたのだと思います。

 磁場を生じるので電流と同じ働きをするが、電荷の移動である普通の電流とは違う、ということで「変位電流」というような呼び方をするようです。
 ※なぜ位置の変化を表す「変位」という言い方をするのかは私にはよくわかりません。識者の回答を待ちましょう。

http://www.cqpub.co.jp/dwm/Contents/0083/dwm008301420.pdf

QRC並列回路(直流)の微分方程式が分かりません

RC並列回路(直流回路)の過渡応答の微分方程式がうまく導くことができません。
初期状態で,電荷Qがコンデンサに蓄えられています。
回路動作のイメージは出来ているのですが・・・。

どなたか,助けていただけませんか?
もうノートが真っ黒です。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしました.

ただし,
v = E u(t). …(4)

(1),(2)よりi_Rを消去して,
i_C = (1 + r/R)i - v/R.

これを(3)に代入して,
v = r i + (1/C)∫(-∞,t]{(1 + r/R)i - v/R}dt
dv/dt = r di/dt + (1 + r/R)i/C - v/(C R)

∴di/dt + (1 + r/R)i/(C r) = {dv/dt + v/(C R)}/r = (E/r){δ(t) + u(t)/(C R)}.

ただし,初期条件は E = r i(0) より
i(0) = E/r.

これがこの回路の微分方程式です.

----
この微分方程式はラグランジュの定数変化法で解くことができて,初期条件を考慮した解は,t > 0 において

i
= (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}
+ E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

したがって,

i_R = E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

i_C = (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}.

コンデンサの両端の電圧は

v_C = R i_R
= E/(1 + r/R) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}]

以上の結果においてr→+0の極限を取ると,その振る舞いはANo.3の解と一致します.

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしまし...続きを読む

Q線電荷による電位

単位長さあたりq[C]の無限直線の線電荷から距離aだけ離れた点の電位を求めたいのですが。
電界はE=q/4πε0a[V/m]となったのですが、ここから電位を求めるにはどうすればいいのでしょうか?点電荷だと-∫[∞→r]Edrというような感じで求めることができると思いますが、線電荷の場合はどうなのでしょう?

Aベストアンサー

電位の基準点は断りがなければ無限遠点にとるのが普通です.
これは,無限遠点はどこから見ても無限遠点なので,
電荷が複数あった場合に基準点を共通に取れると言うことから来ています.
電位というのは標高みたいなものですから,
2つ以上の電荷があるときには基準点を統一しないと直接比較ができないことになります.

でも今の場合は基準点を無限遠点に取ると電位が発散してしまいますので,
この種の問題では「ただし,電位の基準点は線電荷から距離 R の場所とする」
というような但し書きがあるのが普通です.
但し書きがなければ,自分で
「電位の基準点をは無限遠点に取るのが通常だが,
今はそうできないので距離 R の点を基準にした」
などと書いておけば文句のつけようはないでしょう.

電位を単なる電界の不定積分にするのは(少なくとも私は)感心できません.

Q誘電体に働く力がわかりません

「面積S、横幅Lの導体平板が2枚、間隔dを空けて存在する並行平板コンデンサがある。このコンデンサに電圧Vを印加しながら、コンデンサの右端からxのところまで、誘電率εの誘電体で満たした。真空中の誘電率をε0として、誘電体に働く力Fの方向を求めよ。」
という問題がわかりません。

コンデンサに電荷Qを充電して、電源を外し、誘電体を入れる場合には、コンデンサの静電エネルギーW=(Q^2)/2Cであることから
  F = -∂W/∂x > 0
よって誘電体に働く力の向きはxの増加する方向(コンデンサに引き込まれる方向)だと思いました。

ですが、電圧Vを印加したままの状態だと、コンデンサの静電エネルギーW=C(V^2)/2なので
  W = {εSx/(d×L)+ε0S(L-x)/(d×L)}(V^2)/2
  F = -∂W/∂x
= SV^2/(2d×L)(ε0-ε)<0
よって誘電体に働く力の向きはxの減少する方向(コンデンサから追いやられる向き)だと思いました。
これであっているのでしょうか?

Aベストアンサー

考え方が間違っている。

コンデンサの静電エネルギーの変化と誘電体の運動エネルギーの和は保存しません。
保存量でないためF=-∂W/∂xとはできません。

電源がつながっている状態では電源自体が仕事をするのでその影響を考えないといけないのです。
電源がした仕事=コンデンサの静電エネルギーの増加+誘電体の運動エネルギーの増加
になります。
誘電体が中に入った時、コンデンサの静電エネルギーは増大しますが電源の行った仕事はそれ以上に大きいため誘電体の運動エネルギーは増大します。
(電荷量の増加⊿Qとすると電源の行った仕事はV⊿Qとなります。コンデンサの静電エネルギーの増大は(1/2)V⊿Qですので誘電体に(1/2)V⊿Qの仕事がなされるのです。)

Q電流が流れているときの導線内部の電場について

高校物理を勉強中の者ですが、疑問が起こったので質問します。
起電力Vの電池と抵抗Rをつないで電流を流すとき、導線内部の電場の
大きさをE、電子の電気量をeとすると、電子はF=eEの力を受けて移動
しているかと思います。
しかし導線の電位はほぼどこでも等しいわけですよね。
そうすると、E=dV/dxですから、電位がほとんど変わらなければE≒0となる
ので、電子はほとんど力を受けないことになります。
これは電流が流れることに矛盾しないでしょうか。
ひょっとして導線内部に電場が走っていると考えていることが間違っている
のでしょうか?

どなたかこの疑問を解決していただけないでしょうか。

Aベストアンサー

捉える部分を、限定している事が原因だと思います。

導体部分はほぼ同電位であるので、その部分の電子同士間には力が働きません。
公式で求めたのは、この電子同士の力の差を表しています。
その為、仰る通りの結論で正しいと思います。

しかし回路全体で見れば、電源により電位差があるので、全体には力が働きます。
つまり電車に例えると、電車内の人同士には力が働きませんが、電車を動かしているという大きな力で、人には力が働いているのと同じ事です。


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