内積の二乗

問題を解いていて疑問が出来たので質問させていただきます。

(aベクトル×bベクトル)の二乗は、

(aベクトル)×(bベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)

＝(aベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)×(bベクトル)

＝|aベクトル|^2×|bベクトル|^2

になると思い計算したのですがどうもこうならないみたいです。

どこが間違っているのか自分ではよくわからないです。

なのでどこがどう間違っているのか教えてほしいです。


まだベクトルを習いかけたばかりで馬鹿げた質問でしたらすみません。

No.5 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2009/11/28 19:46

まず、内積を表す時は×ではなく、・の記号を使います。

×の記号を使った場合は「外積」というものを表します。

> (aベクトル×bベクトル)の二乗は、
>
> (aベクトル)×(bベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)
>
> ＝(aベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)×(bベクトル)

「内積」と「かけ算」は別ものです。
この点を質問者さんは大きく勘違いしているのだと思います。

まず数式中にある「二乗」は内積ではありません。かけ算の記号です。
なので

(aベクトル・bベクトル)の二乗
= (aベクトル・bベクトル)・(aベクトル・bベクトル)

と解釈するのは誤りで、正しくは

(aベクトル・bベクトル)の二乗
= (aベクトル・bベクトル)かける(aベクトル・bベクトル)

となります。

そもそも3つ以上のベクトルに対する内積(例えばaベクトル・bベクトル・cベクトル)の計算方法が存在しません。
内積は2つのベクトル量を使って計算しますよね？
もしaベクトル・bベクトル・cベクトルという内積計算をしようとするなら、
まず「aベクトル・bベクトル」の内積を計算をすることになります。
そうすると「aベクトル・bベクトル」の部分はベクトルではなく、
ただの数になりますよね。
そうすると

aベクトル・bベクトル・cベクトル
= (ただの数)・cベクトル

となってしまいます。
内積はベクトル2つを用いた計算なので、
この「(ただの数)・cベクトル」という内積計算は不可能ですよね。
よって3つ以上のベクトルに対する内積計算は不可能なんです。

No.4 回答者： quaRk-6 回答日時： 2009/11/28 19:45

まず、内積は・で表します。

×は外積といって、別の意味になるので注意してください。

習いかけたばかりというと高校の数Ｂですか？
その場合
ａベクトルとｂベクトルの成分をそれぞれ(x,y),(z,w)とおけば
(a・b)^2=(xz+yw)^2
|a|^2×|b|^2=(x^2+y^2)(z^2+w^2)
となって、違うことが分かります。

質問者さんの式の違うところですが、
aベクトル・bベクトルはスカラー(ただの数)ですよね。
ということは、真ん中の「×」は「ベクトルのスカラー倍」であって「内積」ではありません。
別々の演算を「掛け算」で一括りにしてごちゃまぜにしてしまっているのが間違いのもとです。
つまり、ベクトルのスカラー倍を×と書く、とすれば

(aベクトル)×(bベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)
は
((aベクトル・bベクトル)×aベクトル)・bベクトル
注)「ベクトルのスカラー倍」の結果はベクトルなので最後の「×」は内積です

(aベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)×(bベクトル)
は
((aベクトル・aベクトル)×bベクトル)・bベクトル
となります。

う～ん、分かり辛い説明ですみません。
喩えるなら、
((１＋２)＋３)＋４＝((１＋３)＋２)＋４は全部同じ足し算なのでOKですが、足し算と掛け算が混ざると
((１＋２)・３)＋４≠((１＋３)・２)＋４となってしまうのと同じです。

追加で質問等ありましたら補足にお願いします。

No.3 回答者： proto 回答日時： 2009/11/28 19:40

まず、ベクトルで積というと内積と外積があり、記号として内積にはa・b(ドット)、外積にはa×b(クロス)を使います。

ドットとクロスの違いで演算の意味が全然違うのでしっかりと意識して使い分けてください。

さて、内積について言えばa,bをベクトルとして、a,bが成す角をθとすると、
　　a・b = |a|*|b|*cos(θ)
です。
ですから、
　　(a・b)^2 = (|a|^2)*(|b|^2)*(cos(θ))^2
です。
　　(a・b)^2 = (|a|^2)*(|b|^2)
となるのは、(cos(θ))^2=1となる時だけ、即ちθ=0のときだけです。


外積について言えば
　　(a×b)×(a×b) = 0
　　(a×b)・(a×b) = |a×b|^2 = (|a|^2)*(|b|^2)*(sin(θ))^2
となります。


では、なぜ質問者様が云うような関係が単純に成り立たないかというと、それはベクトルの内積や外積には実数の積のような結合則や交換則が成り立たないからです。
具体的には、○を・か×の代わりとして書いたとき
　　(a○b)○c = a○(b○c)
　　a○b = b○a
が成り立たないからなんです。
実数の積ならこれらが成り立つのは当たり前ですね。
しかし、ベクトルの演算や行列の演算やその他のいろいろな演算を考えると、これらの法則が成り立つのは当たり前のことではないのです。
逆にこれらの法則が成り立つのは特別な場合なのです、その特別な場合が実数や整数の和や積なのです。さきほども書いたようにベクトルの演算では成り立ちません。
(ベクトルの内積を使って、a・b=b・aは偶然にも成り立ちますが)

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/11/28 19:36

まず記号の使い方が間違っています。

ベクトルは　(a↑)や(a→)などと書きます。
内積は(a↑)・(b↑)や(a↑,b↑)など書きます。
外積は(a↑)×(b↑)や[a↑,b↑]など書きます。
なので
内積の記号に「×」は使っていけません。
「・」の方を使ってください。

{(a↑)・(b↑)}^2
=(|a↑|*|b↑|*cosθ)^2
={(|a↑|)^2}*{(|b↑|)^2}*(cosθ)^2

>どこが間違っているのか自分ではよくわからないです。
内積「・」と普通の掛け算の区別ができていませんね。

内積「・」はベクトルとベクトルの積として定義されています。
普通の積(「*」で表ことにする）はスカラー（定数）とスカラー（定数）の積や定数とベクトルの積で使います。

>(aベクトル)×(bベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)
>＝(aベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)×(bベクトル)
ここで普通の積と内積の「*」と「・」を区別しないで積の順序を
交換したことが間違いです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/11/28 19:27

「(aベクトル)×(bベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)」に 3回現れる「×」は全て同じ意味ですか?

あと, ベクトルに対する「×」は別の意味が考えられるのできちんとした記号の使い方をしてください.