No.3ベストアンサー
- 回答日時:
まず斉次方程式
y' + y = 0
の解を求めて
y = A e^(-t)。
係数 A を A(t) と見なして
y' = (A' - A) e^(-t)。
元の非斉次方程式に代入して
A' e^(-t) = cos(t)。
A = ∫cos(t) e^t dt
= sin(t) e^t - ∫sin(t) e^t dt
= sin(t) e^t - [-cos(t) e^t - ∫(-cos(t)) e^t dt]
= {sin(t) + cos(t)} e^t - A + c
A = [{sin(t) + cos(t)} e^t + c] / 2
y = {sin(t) + cos(t) + c e^(-t)} / 2
y(0) = (1 + c) / 2
= 0
∴ c = -1
y(t) = {sin(t) + cos(t) - e^(-t)} / 2
No.4
- 回答日時:
y'+y=cost は,1階線形常微分方程式です.しかも,
求積分法で解ける方程式です.定数 cost を仮に,Aと置きます.
y'+y=A
y を移行します.
y'=A-y
この式は,x を独立変数と考えて,
dy/dx=A-y
と書けます.これを解くと
dy=(A-y)dx
dy/(A-y)=dx
∫(1/(A-y))dy=∫dx+C, C は積分定数です.
-log(A-y)=x+C
log(A-y)=-x-C
A-y=exp(-x-C)
y=A-exp(-x-C)
この式が,一般解です.
y(0)=0 を計算すると,
0=A-exp(0-C)
0=A-exp(0-C)
0=A-exp(0)・exp(-C)
0=A-exp(-C)
exp(-C)=A
-C=log(A)
C=-log(A)
です.つまり,積分定数 C が,-log(A) です.
したがって,
y=A-exp(-x-C)
y=A-exp(-x+log(A))
y=A-exp(-x)・exp(log(A))
y=A-exp(-x)・A
y=A-A・exp(-x)
y=A(1-exp(-x))
この式が答えです.y=A(1-exp(-x)) を微分すると,
y'=A・exp(-x)
与えられた式 y'=A-y に入れると
A・exp(-x)=A-y
A・exp(-x)=A-A(1-exp(-x))
A・exp(-x)=A-A+A・exp(-x))
A・exp(-x)=+A・exp(-x))
A・exp(-x)=A・exp(-x))
となるので,y=A(1-exp(-x)) は正しい答えです.
exp(-x) は,e^(-x) のことです.
No.6
- 回答日時:
y'+y=0 の解は y=ce^{-t}
D=d/dt とする
y'+y=(D+1)y=cost=(e^{it}+e^{-it})/2
(D+1)e^{it}=(i+1)e^{it}
e^{it}=(D+1)e^{it}/(i+1)
(D+1)e^{-it}=(1-i)e^{-it}
e^{-it}=(D+1)e^{-it}/(1-i)
(D+1)y=cost=(e^{it}+e^{-it})/2=(D+1)(e^{it}/(i+1)+e^{-it}/(1-i))/2
特殊解は
y=(e^{it}/(i+1)+e^{-it}/(1-i))/2=(cost+sint)/2
一般解は
y=(cost+sint)/2+ce^{-t}
y(0)=1/2+c=0
c=-1/2
y=(cost+sint-e^{-t})/2
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