微分方程式ｙ”＋λｙ＝０について、ｙ(０)＝０かつｙ(Ｌ)＝０なる境界

微分方程式ｙ”＋λｙ＝０について、ｙ(０)＝０かつｙ(Ｌ)＝０なる境界条件を満たす固有値λと固有関数を求めたいのですが、わかる方がいれば教えてください。m(_ _)m

No.1 回答者： noname#114871 回答日時： 2010/07/17 17:23

ｙ”＋λｙ＝０　をyについて解いてｙ(０)＝０かつｙ(Ｌ)＝０

なるようにyの積分定数を定めれば解けると思うけど。
ｙ”＋λｙ＝０
⇔y=A(cos√λt＋isin√λt)＋B(cos√λt-isin√λt)
ｙ(０)＝０から
A＋B=0
でy=A(cos√λt＋isin√λt)-A(cos√λt-isin√λt)=i・2Asin√λt
ｙ(Ｌ)＝０より
√λL=nπ⇔ λ=(nπ/L)^2 ただしnは任意整数
よって
y=i・2Asin(nπ/L)t (Aは任意定数

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/17 18:50

定係数斎次線型微分方程式だから、型通り、

固有値を求めて、指数関数を一次結合するだけです。
y = A exp(x√-λ) + B exp(-x√-λ) に
初期条件を代入して、
定数 A,B を決めれば ok。
λ＞0 なら、三角関数が、
λ＜0 なら、双曲線関数が現れます。
λ=0 なら、別途解いて、一次関数。

実解析の範囲で解きたければ、
両辺に y' を掛けてから一度積分し、
出てきた一階微分方程式を解く。

No.3 回答者： pascal3 回答日時： 2010/08/26 20:16

まじめに授業を受けていれば講義ノートに必ず書いてあるような問題なので、なぜここで質問するのかと小一時間問い詰めたいが、それは置いておくことにして。

おおむねNo.1の方の書かれているとおりなのですが「nは任意整数」というのは不正確です。
これでは題意にあわないものまで含んでしまいます。
講義ノートを見直して「自明な解は除く」とか何とか書いてあるあたりを確認しましょう。

また、No.1ではλは正と決めてかかっているし、実際そうなのですが、なぜλは正だと考えてよいのかお分かりですか？
即答できない場合は、No.2の方の書かれているように、λが負とかゼロになる可能性も検討して、その場合には題意を満たす解（境界条件を満たす非自明解）が得られないことを確かめておくべきでしょうね。