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物理の慣性モーメントモーメントについて質問です。
至急回答お願いします

長方形と直角三角形の銃身の位置での慣性モーメントってどうやって求めたらいいでしょうか?

A 回答 (1件)

長方形を幅2b高さ2hとします。



単位面積当たりの質量をρとします

長方形の重心を通るxy座標を考え、x軸を幅方向とします。

慣性モーメント I の定義より

 I =∫∫(x^2+y^2)ρdxdy
  =ρ∫{「x^3/3+y~2x] x=b~(-b)}dy
  =ρ∫{(2/3)b~3+2by~2}dy
  =ρ{(2/3)b~3y+(2/3)by~3}y=h~(-h)}
  =ρ(4/3)b~3h+(4/3)bh~3
  =ρ(4/3)b~3h+(4/3)bh~3
  =4ρbh{(b^2)/3+{(h^2)/3}
 
  =(M/3)(b^2+h^2)
 ただし、Mは長方形の質量

三角形の方は自分でやってください。 とても書けません。
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Q慣性のモーメント

大学のレポートで困ってます。
"一様な薄い正三角形の板(質量 M 一辺の長さ a)の重心を通り、板に垂直な直線をz軸として、x,y,z軸に対する慣性モーメントを求めよ"
という問題です.
どうかよろしくご教授願います。

Aベストアンサー

慣性モーメントを求めるには,基本的には定義どおりに和を取る,
あるいは積分するより仕方がありません.

Ix と Iy の方が Iz より計算は簡単ですよね.
x軸からの距離は √(y^2 + z^2) ですが,薄い板なんだから....

brogie さんのヒントの Iz = Ix + Iy はどういうときに成り立つのか,
そこらへんも確認してください.

この問題は慣性モーメントの計算としては標準的問題です.
慣性モーメントの定義はちゃんと理解しているでしょうか?
テキストなどで実際に慣性モーメントを計算している例題があると思いますが,
例題の内容は完全に消化しましたか?

brogie さんはうっかり正方形と書いちゃいましたね.
ヒントの内容には影響はありませんが...
揚げ足取りみたいで恐縮です.

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Qモーメント

一辺a、質量mの一様な正三角形の板ABCがある。Aが床に接触するように鉛直面内に板を立て、Cを水平に糸で引くと、辺ACが鉛直になってつりあった。重力加速度の大きさをgとして、糸の張力を求めよ。


この問題の解答解説をお願いします(>_<)

Aベストアンサー

点Aを中心とした時のモーメントの釣り合いを考えると、
(1)点Cにかかる張力によるモーメント
 張力をTとして、aTとなります。

(2)板にかかる重力によるモーメント
 板にかかる重力は重心にかかると考えることが出来ます。重心は∠CABを二等分する直線上にあり、
重心の定義より点Aからa√3/3の距離にあります。従ってこのモーメントは
mga・√3・sin30°/3

(1)と(2)を等しいとおくとTが求められます。

Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の速度がv,とすると
角速度ω=v/r [rad/s]
になると思うのですが,
加速度と角加速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
角速度α=a/r [rad/s^2]
となるのでしょうか?
ご教示よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

半径rが定数とすれば、その通りです。
加速度、角加速度はそれぞれ速度、角速度の単位時間の変化量(時間微分)ですので、加速度は「a=dv/dt」、角加速度は「α=dω/dt」と表せます。
同時に、角速度の式「ω=v/r」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt=(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α=a/r」となります。
ただし半径rそのものが時間関数r(t)の場合はこの限りではありません。

Q大学物理の問題

以下の問題がわかりません・・・。解説をお願いしたいです。

半径a, 質量M の一様な円板の中心からb だけ離れた点を支点として円板を円直面内で微小振動させ
た。この振動の周期T を求めよ。このT を最小にするb 及びその時の周期Tmin を求めよ。


よろしくお願いします。

Aベストアンサー

円盤の慣性モーメント I = (1/2)Ma^2 + Mb^2
円盤に加わる力(重力)のモーメント N = bMgsinθ ≒ = bMgθ(微小振動なので)

以上から運動方程式は

Id^2θ/dt^2=-bMgθ

これは単振動の方程式なので、振動の角周波数= √(bMg/I)

周期(T) = 2π/角周波数 = 2π√(I/(bMg)) =2π√(1/(2gM))√(a^2/b+2b)

Tを最小にするbは上の a^2/b+2b を最小にするので

a^2/b+2b を b で微分すると -(a^2/b^2) + 2 = 0 ⇒ b = a /√(2)

Q質量m 半径aの一様な円環の慣性モーメントの求め方を教えてください。 回答には円環はすべての部分が中

質量m 半径aの一様な円環の慣性モーメントの求め方を教えてください。
回答には円環はすべての部分が中心から等距離aにあるとあるのですがよくわかりません…

Aベストアンサー

No.1です。「求め方」も書いておきます。

>∫a^2dmということでしょうか?

基本はそういうことです。

微小体積の質量 dm は、針金の長さ dL として、線密度が ρ = m/(2パイa) なので、
 dm = [m/(2パイa)]dL   ①
ここで、円環の微小中心角 dθ をとれば
 dL = a*dθ
なので、①は
 dm = [m/(2パイa)]dL = [m/(2パイa)]*a*dθ = [m/(2パイ)]dθ

これを質点とみなしたときの慣性モーメントは
 dI = dm * a^2 = [ma^2/(2パイ)]dθ
なので、円環全体の慣性モーメントはこれを θ について積分すればよいのです。

積分範囲は 0→2パイ ですから
 I = ∫[0→2パイ][ma^2/(2パイ)]dθ = [ma^2/(2パイ)]∫[0→2パイ]dθ
  = [ma^2/(2パイ)] * 2パイ
  = ma^2
です。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q慣性モーメントの問題

長方形の板
2a×2b×c(厚さ)
質量m、密度は一様で重心を通り、
盤面に垂直な軸の周りの慣性モーメントを求めよ。

という問題なんですが、分からないのでどなたか
教えてください、よろしくお願いします!

Aベストアンサー

 
 
 丸投げに近いご質問なので、ヒントだけを書きます。

回転軸が板と平行な場合の I は習ってあるはずですよね。

    軸
┏━━┿━━┓
┃    |    ┃
┗━━┿━━┛

これも。
┏━━━━━┓
╂─────╂軸
┗━━━━━┛

で、直交座標(x,y,z,zは画面に垂直)において、

  ______ y軸
  |\     |
  |  \   |
  |   \  |
  |     \|
  | ̄ ̄ ̄ ̄
  x軸

 (斜めの長さ)^2 = (縦の長さ)^2 +(横の長さ)^2
はわかりますよね。
 x軸まわりの I の計算は (横の長さ)^2 を使って公式を出したはずです。 y軸まわりの方も同じですよね。
 で、欲しい z軸まわりの計算は上図の 斜め、(斜め)^2 ですよね、すると、超簡単な結論が‥‥
 補足の欄にお考えになった結果をお書き下さい、質問者の考察の跡が見られないと削除される規定なのです。
 
 

Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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Q質問 大学 物理 円錐の慣性モーメントの求め方

回転軸が、頂点Oを通る底面と平行なときの
円錐の慣性モーメントの求め方の解説をお願いします。
ベルを鳴らすときに横に振るときのイメージの。。。

平行軸の定理I=IG+Ma^2を使って求めると思うのですが。。。
円錐の切り口の円板の慣性モーメントから求めるやり方?で求めています。

例えば質量M[kg]、半径r[m]、高さh[m]の円錐
重心までの距離は回転軸から(3/4)hの高さは求めました。
円板の慣性モーメント(1/4)Ma^2の出し方も少しわからない部分があるので
これも教えてもらえたら。

Aベストアンサー

初めに、円板の慣性モーメントを求める。

次に、円板の慣性モーメントを利用して、円錐の慣性モーメントを求める。

円錐を、底面に平行で、厚さdxの円板群に細分化する。
1つの円板の中心が座標xであるとすると、その円板の、z軸の周りの慣性モーメントは、平行軸の定理を使って
dI=((1/4)dmr^2)+dmx^2
ここでdmは円板の質量で
dm=ρπr^2dx
また、円錐の高さをh、底面の半径をRとすると
円板の半径は
r=R・(x/h)
なので
dI=dm{r^2/4+x^2}
=ρπ(R/h)^2・x^4・{(R/h)^2/4+1}dx

I=ρπ(R/h)^2・{(R/h)^2/4+1}∫[0..h]x^4dx
M=ρ・πR^2・h/3
より
I=(3/20)M・(R^2+4h^2)


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