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{問題}
無風状態で鉛直下向きに雨粒が落下しています。
今、電車が当加速度運動を始めたとき、雨粒が描く奇跡を答えよ。


鉛直成分が0の雨粒が電車の速度を右向きと考えたときに相対的に左向きに動いていくようにみえるので、雨粒が左向きに等加速の鉛直成分をもつのだろうなと思ったのですが、そこから奇跡が一次関数のような形になるのか、二次関数のような上下逆の放物線のような形になるのか、判断ができません。

できるだけ詳しく教えていただける嬉しいです。

A 回答 (8件)

>私にはどうして「雨粒に初速度があるのかどうかを考えることが無意味」なのかわかりません。

問題では、雨粒の初速度については触れていませんが、普通落下物について考える場合、初速度は重要な点ではありませんか?

雨はどこから落ち始めますか。
雲の中からでしょう。
あなたの身長は1000mもあるのですか。
電車は地上を走っています。

雲の中の水滴が成長して雨として落ち始めてもそのまま落ちるのではありません。離合集散を繰り返しています。落下途中の大気中の湿度が小さければ地上に届く前に蒸発して無くなってしまう場合もあります。
大きな水のかたまりが落ちる場合を考えても「質量mの物体が・・・」という、よく出てくる落下運動と同じように考えるわけにはいきません。空気の圧力で細かく分かれてしまいます。
(スカイダイビングの写真を見ることがよくありますがものすごい風圧がかかっていることは分かるでしょう。パラシュートを使うとけがをしないですむ程度の速さで降りてくることができるというのも終端速度の例になりますね。)

地上付近で考えれば、雨は空気抵抗、周囲の湿度の影響によって決まる安定状態で落下しているのです。
大粒の雨でも小粒の雨でも事情は同じです。
「空気抵抗のない場合を考える」という設定も意味がないと#5に書いたのですが理解してもらっていないようですね。

鉛直下向きに等速度で雨が落ちているのを等速度で水平に運動している電車の中から見れば斜め後方に向かう直線運動に見えます。電車が加速度運動をしていれば その線からずれて行きます。
もし、電車が進行方向に加速しているのであれば直線から後ろにずれて行きます。
これは放物運動で言えば斜め下に投げた時の軌跡を横にしたものになります。
#2の回答で既に指摘されていることです。

終端速度を計算しているサイトがありました。
http://www5b.biglobe.ne.jp/~saturn/meteology/04. …

直径が5mmの雨で秒速10m程度です。
時速に直すと36kmです。

この大きさの雨であれば土砂降りの雨でしょう。
顔に当たれば痛いでしょう。電車の窓であれば全面が水の膜に覆われた状態になるでしょう。
雨の粒が窓の軌跡を残すというのはもう少し遅い目の速さでの場合でしょう。

自由落下で考えてみて下さい。この速さは1秒後に実現する速さです。
落下距離は5mです。抵抗があっても数倍の時間をかければ実現するでしょう。
雲の中からそのままの大きさの雨の粒が落下し始めるとしても(落下途中での大きさの変化がないとしても)雲の中で終端速度になってしまっていることになります。(雨が降っている時の雲の厚みは100m以上はあると思います。山に雲がかかっているという状況でも大抵100m程度以上はありますから。)

「地上で終端速度になる前の雨を考えるというのは意味がない」ということ、納得してもらえたでしょうか。

雨の落下の速さが遅い目の乗り物の速さぐらいだということだからこそ電車の窓での観察が可能になるのです。
これは雲の高さが1000m程度であるとすれば終端速度になっていなければいけないという判断にすぐに結びつく内容です。自由落下で1000m落下した時の速さを計算してみて下さい。

「雨」と出てくれば「等速度で落下」と考えるというのは選択の余地がないものです。
問題の中に初速度の記述がないというのは当然なのです。
地上で雨を見ているのですから。
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#5です。


>正解は下に凸の二関数グラフの右側みたいな形なんですが・・・ 

質問している人が質問の論点をころころと変えてはいけません。
「正解は・・・」ということは元の問題の内容に戻っての話でしょう。元の問題は等速度で落下です。
「初速度0の雨」という無意味な前提は捨てたということになります。
そうであればはっきりとそういうことを確認しておく必要があります。
その確認がなければ、あなたの事ですからいつまたどこで「初速度0の雨が・・・」と言いだすか分かりません。

「下向きに等速度、横向きに等加速度で放物線を横にしたような道筋になる」というのは既に#2で回答が出ています。

この回答への補足

ご指適ありがとうございます。ですが、私にはどうして「雨粒に初速度があるのかどうかを考えることが無意味」なのかわかりません。問題では、雨粒の初速度については触れていませんが、普通落下物について考える場合、初速度は重要な点ではありませんか?
また、この問題の正解はNo.6さんが導き出してくださったような軌跡なのですが、これはNo.2さんの回答とは違うように思うのは私の間違いでしょうか?
もし、雨粒に初速度があるのが周知の事実なのだとおっしゃるのなら、それはそうと納得するつもりです。よろしければ、もう一言だけ投稿をお待ちしております。

補足日時:2011/06/10 23:25
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No.4です。



>軌跡は合力のように一次関数のグラフのようになるんですか?正解は下に凸の二関数グラフの右側みたいな形なんですが・・・

初速度が無い場合には
"自由落下"になりますから、g'=No.4回答に貼付した合力(見かけの重力)方向に、直線的に落ちていくだけです。

初速度が有る場合(雨粒が、すでに地面に向かって落下を始めた後の場合)
初速度は、重力加速度gの方向ですから、見かけの重力の方向g'と異なります。これは、斜め投射に相当しますね。軌跡は曲線になります。二次曲線になります。
「電車の窓から見える雨粒の軌跡の問題」の回答画像6
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「初速度0の雨粒」という場面を考えることは意味がありません。



問題文にある「鉛直下向きに雨粒が落下している」という場面であれば落下速度は一定です。

終端速度に達する以前の「雨」の状態を考えるというのは無意味です。
空気抵抗のないところで「雨」が落下しているという想定も無意味です。

「鉛直方向に加速度の存在する物体の運動を加速度運動をしている電車の中から見た時にどのように見えるか」という問題であるのであれば、それは元々の問題から離れてあなたが勝手に作った問題になります。その場合は「雨」という言葉を使ってはいけないのです。

普通に「質量mの物体を落下させる」という場面を設定すればいいことです。
「実験室で鉄球を落下させる、それを水平方向に加速度運動をしているビデオカメラで撮影する」
という場面と同じです。
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電車に乗っている観察者から眺めてみます。



雨粒には2つの力が働いているように観察されます。

1つは重力で W=mg の大きさで下向きの力

もう1つは慣性力で、(電車が右向きに加速度aで加速されているなら)
F=ma の大きさで左向きの力

Fは電車が等加速度直線運動をしているなら、一定。重力も当然一定ですから、これらの合力も、一定のはずですね。

物体に生じる加速度は、合力の大きさに比例し、その方向は合力の方向ですから、雨粒に掛かってくる加速度は、一定であることになります。(図でいえば左下向きですね)。
初速度0で落下し始めた雨滴は、どんな運動をするように見えるでしょうか?

下向きに初速度を持った雨滴の場合はどんな運動をするように見えるでしょうか?

ヒント 図の合力の方向に、合力/質量の大きさの”重力加速度”が掛かっていると見なすことができます。電車があたかも右上がりの坂道で”傾いた状態”で止まっているような感じですね。雨粒は、電車の窓ガラスを、どのように濡らすでしょうか?
「電車の窓から見える雨粒の軌跡の問題」の回答画像4

この回答への補足

では 軌跡は合力のように一次関数のグラフのようになるんですか?正解は下に凸の二関数グラフの右側みたいな形なんですが・・・ 理解が遅くてすみません・・・

補足日時:2011/06/10 00:02
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電車に乗っているのなら雨は速度が一定と考えるのが妥当


>電車が当加速度運動を始めた
電車に乗っているとは書いていないので、電車を無視して回答してみるのが面白いでしょう~

妄想を働かし乗っていることにする場合は「等加速度運動を始めた」としか書いていない以上もともとは一定の速度で移動していると仮定しておくのが良いでしょうし
速度を落とす方向に加速することも考慮してください

そこまで書いておきながら誤字は無視しちゃいます
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>雨粒が左向きに等加速の鉛直成分をもつ



等加速の水平成分をもつ,の誤りでしょう。ついでに「等加速度」,「軌跡」も違ってます。^^;

加速度の水平成分が一定,鉛直成分は重力加速度で一定…したがって加速度はその合成で一定,といいたいところですが,雨粒の鉛直運動は空気抵抗によりほぼ等速運動です。ですから,鉛直方向に加速度ゼロ,水平方向に等加速度。放物線を横に寝かせた軌跡を描くと思われます。式で表すには,鉛直方向に等速直線運動,水平方向に等加速度直線運動の式を適用して時間を消去すれば,軌跡の方程式を得ます。

この回答への補足

落下速度が一定になるのは終端速度を向えてから、それ以降にそれを見たときということですよね?空気抵抗がもし、ない場合には、雨粒の合成成分は「初速度+時間×重力加速度」で合っていますか?その場合、軌跡はどのようになるのでしょうか?

補足日時:2011/06/06 23:43
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当加速度運動…等加速度~でしょうか。



一定の速度で動いているときと、加速をしているときの状態をそれぞれ考えてみると
ある程度の予測ができると思います。

答えを書いても良いのですが、ここはイメージしながら考えることで理解に繋がると思うんです。
ですので、アドバイスに留めさせていただきます。
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