線形代数のベクトル空間の問題です

次のベクトル空間Wの次元と１組の基を求めよという問題です。

W＝｛f(x)∈R［ｘ］3 ｜　ｆ（１）＝０、ｆ（－１）＝０｝　なんですが、どうやって式を求めていくかわかりません。
詳しい解説等くださると助かります。

ちなみに答えはdim(W)=2,基は｛－１＋X^2, －X＋X^3｝となるらしいです。

よろしくお願いします。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/09/24 10:01

←A No.1 補足

その R[x]n は、ちゃんと普及した用語とは思えないけれど、
意味は判ったから、そこは了解しましょう。

まず、日常的に多項式を書き表している方法が
R[x]3 の基｛xxx,xx,x,1｝上の成分表示
であることに気付くべきです。
そうすると、f(1)=0 と f(-1)=0 が、どちらも
R[x]3 上の一次方程式であることが見えて、
この問題が、4元2連立一次方程式の解空間の
次元と基を求める問題だということが判るはずです。
ここまで理解したら、一旦 R[x]3 を離れて、
問題を成分表示で書き直し、一次方程式の
他の例題と同じように解いてみましょう。

連立一次方程式を解く部分でつまずくようならば、
中学の教科書を復習することから始めるのが
早道だと思います。

No.2 回答者： misumiss 回答日時： 2012/09/24 02:55

まず, W がベクトル空間になっていることは, ちゃんと理解できているのでしょうか。

それは理解できているとして, W の任意のベクトル f(x) を,
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d　(a, b, c, d ∈ R)
と表したとき, 条件 f(1) = f(-1) = 0 より, c = -a かつ d = -b が成り立ちます。
よって, f(x) = a(x^3 - x) + b(x^2 - 1) となり, W の任意のベクトルが, x^3 - x と x^2 - 1 の線型結合として表せることが示されました。
あとは, x^3 - x と x^2 - 1 が線型独立であることをいうだけですが, これは明らかなので御自分で考えてください。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/09/23 23:50

とりあえず、R[x]3 を定義することから

でしょうね。

この回答への補足

この教科書では実数を係数とする高々ｎ次の多項式全体をR［ｘ］ｎと置くらしいです。

補足日時：2012/09/24 01:00