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積分領域を書き換えると
D={(x,y)| y≦x≦(√π)/2, 0≦y≦(√π)/2}
={(x,y)| 0≦x≦(√π)/2, 0≦y≦x}
従って
I=∬[D} cos(x^2)dxdy
=∫[0→(√π)/2] cos(x^2)dx ∫[0,x] dy
=∫[0→(√π)/2] cos(x^2)dx [y][0,x]
=∫[0→(√π)/2] x cos(x^2)dx
=∫[0→(√π)/2] (1/2)(x^2)' cos(x^2)dx
=(1/2)∫[0→(√π)/2] (x^2)' cos(x^2)dx
=(1/2)[sin(x^2)]∫[0→(√π)/2]
=(1/2) sin(π/4)
= (√2)/4
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