数III 不等式 教えてください

問題

x＞0のとき、e＾(2x)＞x＾2/2となることを示せ

証明をどう書けばよいのか分かりません
解説お願いします

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/11/14 21:00

＞両辺の対数をとって、その差f(x)=2x-2lnx+ln2が

x＞0でf(x)＞0であることを示せばよいでしょう。

この回答への補足

回答ありがとうございます
微分を用いての証明を教えていただきたいです

補足日時：2013/11/14 21:41

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2013/11/14 22:40

y=f(x)=e＾(2x)-x＾2/2

がｘ＞0で常にy>0を示せばよい。

f(0)=1　ゆえにｘ＞0で

y'=f'(x)=2e^(2x)-x＞0

が言えればよい。

f'(0)=2 ゆえにｘ＞0で

y''=f''(x)=4e^(2x)-1＞0

が言えればよい。

f''(0)=3,4e^(2x)は単調増加関数

ゆえにｘ＞0で

y''=f''(x)=4e^(2x)-1＞0


QED

No.3 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/11/15 09:22

補足質問：微分を用いての証明を教えていただきたいです

＞f(x)=2x-2lnx+ln2で考えるなら、
f'(x)=2-2/xだから
O＜x＜1でf'(x)＜0、f(x)は減少関数。
1＜xでf'(x)＞0、f(x)は増加関数。
x=1でf(x)は極小となり、f(1)=2+ln2＞0。
よって、x＞0でf(x)＞0（証明終わり）

もし、対数を使いたくないなら、No.2さんの考え方でよいのでは？
書いてみると、
f(x)=e^(2x)-(1/2)x^2
f(0)=1
f'(x)=2e^(2x)-x=g(x)とおくと
g(0)=2
g'(x)=4e^(2x)-1=h(x)とおくと
h'(x)=8e^(2x)＞0だからh(x)は増加関数であり
h(0)=3だからx＞0でh(x)＞0すなわちg'(x)＞0。
よってg(x)はx＞0で増加関数であり、g(0)=2
だからx＞0でg(x)＞0すなわちf'(x)＞0。
よってf(x)はx＞0で増加関数であり、f(0)=1
だからx＞0でf(x)＞0（証明終わり）

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2013/11/15 19:04

e^x のマクローリン展開の公式

e^x=1+Σ[n=1,∞] x^n/n! (|x|＜∞)　 ...(1)
　　=1+x+x^2/2+x^3/3!+ … +x^n/n!+ … ...(2)
x＞0で全ての項＞0なので　x^2の項以外を省略すると
　e^x ＞ x^2/2 ... (3)
が成り立つ。
また x＞0で　e^(x)＞1なので　両辺２乗して
　e^(2x)=(e^x)*(e^x)＞(e^x)*1＝e^x ...(4)

(3),(4)から
　e^(2x) ＞ e^x ＞ x^2/2 (x＞0)
∴　e^(2x) ＞ x^2/2 (x ＞ 0)

（証明終り）