No.1ベストアンサー
- 回答日時:
せっぱつまっているようで、いっぱい質問していますね。
答えを教えても意味ないので、ヒントを。
(1) Cの円の中心と半径は?
同じように C'の中心と半径は(ある放物線上に乗りますね)?
ということは2つの円が交わるためには中心間の距離が
お互いの半径の合計値よりも近づかなければならないですよね。
(2)直線上に2つ円が乗っていると考えてください。
○ ○
----------
こんな感じ。
これがどんどん近づいて、お互い交わった時の交点は、
中心線の垂直2等分線上にありますね。
で、近づけば近づくほど、その垂直2等分線が長くなりません?
というわけで、線分ABの長さが最大の時は円の中心間の距離が
最短の時です。
というわけで頑張って
No.2
- 回答日時:
(1)tのとり得る範囲を求めよ
円Cと円C'が2点で交わるためには、中心点間の距離lが
l<2
という条件を満たしていなくてはなりません。つまり
l^2<4 ・・・(a)
です。
ここで
l=√{(t-0)^2+(t^2-2)^2}=√(t^4-3t^2+4)
ですから、
l^2 = t^4-3t^2+4
です。
ここでf(t)=t^4-3t^2+4としてグラフを書いてみましょう。
f(t)=0に解がないので、このグラフはx軸と交わりません。
そしてf'(t)=4t^3-6tより、
t=0,(√6)/2
であり、0<t<(√6)/2でf'(t)<0なので
t=0のときf(0)=4
0<t<(√6)/2のとき、f(t)はだんだん減っていく
t=(√6)/2のとき、f(t)=7/4で極小値 ・・・(b)
t>(√6)/2のとき、f(t)はだんだん増えていく
という感じのグラフになることがわかります。
(a)の不等式より、f(t)=4となる点を求めればtの範囲がわかります。
t^4-3t^2+4=4より
t^4-3t^2 = 0
よって t=√3 (t>0)
というわけで答えは 0<t<√3 となります。
(2)(1)の範囲でtを変化させるとき、線分ABの長さの最大値と、そのときのtの値を求めよ。
中心点間の距離が最小になるとき、線分ABの長さが最大になりますので、
(1)で書いたグラフの極小値のときのtがそれにあたります。
よって、t=(√6)/2 です。
このときの線分ABの長さを求めます。
線分ABと線分CC'は直角に交わるので、
(線分ABの長さの半分)^2+(線分CC'の長さの半分)^2=(円Cの半径)^2
です。(三平方の定理より)
ここで、線分ABの長さをsとし、(b)から線分CC'の長さは(√7)/2なので
s^2+((√7)/4)^2 = 1
これより
s=3/2
よって、線分ABの長さの最大値は 3/2 です。
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