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1辺の長さが4である正四面体OABCを考える。点Dを線分ABの中点とし、点Eを線分BC上にBE=3となるようにとる。
このとき、OD=[ア]√[イ] ,OE=√[ウエ],DE=√[オ] である。
また、∠ODE= θ とおくと、cosθ=√[カキ]/[クケ] である。
よって、△ODEの面積は [コ]√[サ]/[シ] であり、△ODEを直線ODを軸として1回転してできる立体の体積は [スセ]√[ソ]/[タ]π(パイ) である。

<答え>
OD=[ア]√[イ]:OD=2√3
OE=√[ウエ]:OE=√13
DE=√[オ]:DE=√7
cosθ=√[カキ]/[クケ]:cosθ=√21/14
[コ]√[サ]/[シ]:5√3/2
[スセ]√[ソ]/[タ]π:25√3/6π

途中式など詳しく教えてくださると助かります…。
宜しくお願いします。

gooドクター

A 回答 (1件)

ODはABへの垂線なので、1:2:√3より2√3です。



OEはBCの中点より1横にずれているので、高さ2√3、底辺1の三角形の斜辺です。
よって√(12+1)=√13となります。

点Eから辺ABに垂線を引くと、斜辺3で∠B=60度から、垂線の長さは1:2:√3より3√3/2となります。
また同様に、その交点と点Bの距離は3/2となります。
この時その交点と点Dの距離は2-3/2で1/2となります。
底辺が1/2で高さが3√3/2の直角三角形の斜辺がDEとなるので、
√(27/4+1/4)=√7となります。

cosθは点Dから(点OからDEにおろした垂線とDEの交点)までの長さを辺ODの長さで割って求めることができる。
この垂線の長さをh、交点から点Dまでの長さをxとすると
h=√(OD^2-x^2)=√(OE^2-(DE-x)^2)
12-x^2=13-(√7-x)^2=13-(7-2√7x+x^2)
6=2√7x
x=3√7/7
cosθ=x/OD=3√7/7 ÷ 2√3=√21/14 となります。

△ODEの面積はDE*h/2=√7*√(12-9/7)/2=√7*√(75/7)/2=5√3/2 となります。

これをODを軸として回転させてできるものは、ODにEから垂線を下ろして分割すると分かり易いと思いますが、
2つの円錐が上下逆さでくっついた形になっています。
円錐の体積は底面積×高さ÷3なので、まず底面積を求めます。
これはEからODにおろした垂線の長さを出すことで求めることができます。この長さをyとすると
OD×y÷2=ODEの面積となるので、
√3y=5√3/2 となり y=5/2です。
底面積=y^2π=25π/4
体積=25π/4×OD÷3=25π/4*2√3/3=(25√3/6)π となります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
考え方まで詳しく書いてくださりありがとうございました!
理解しながら解くことが出来ました♪

お礼日時:2017/01/13 05:41

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