数学の問題です。教えてください。

1辺の長さが4である正四面体OABCを考える。点Dを線分ABの中点とし、点Eを線分BC上にBE=3となるようにとる。
このとき、OD＝[ア]√[イ] ，OE=√[ウエ]，DE=√[オ] である。
また、∠ODE= θ とおくと、cosθ＝√[カキ]/[クケ] である。
よって、△ODEの面積は [コ]√[サ]/[シ] であり、△ODEを直線ODを軸として1回転してできる立体の体積は [スセ]√[ソ]/[タ]π(パイ) である。

<答え>
OD＝[ア]√[イ]：OD＝2√3
OE=√[ウエ]：OE=√13
DE=√[オ]：DE=√7
cosθ＝√[カキ]/[クケ]：cosθ＝√21/14
[コ]√[サ]/[シ]：5√3/2
[スセ]√[ソ]/[タ]π：25√3/6π

途中式など詳しく教えてくださると助かります…。
宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/13 00:06

ODはABへの垂線なので、１：２：√３より2√３です。

OEはBCの中点より１横にずれているので、高さ2√3、底辺１の三角形の斜辺です。
よって√（12+1）＝√13となります。

点Eから辺ABに垂線を引くと、斜辺3で∠B＝60度から、垂線の長さは１：２：√３より3√3/2となります。
また同様に、その交点と点Bの距離は3/2となります。
この時その交点と点Dの距離は2-3/2で1/2となります。
底辺が1/2で高さが3√３/2の直角三角形の斜辺がDEとなるので、
√（27/4+1/4）＝√7となります。

cosθは点Dから（点OからDEにおろした垂線とDEの交点）までの長さを辺ODの長さで割って求めることができる。
この垂線の長さをh、交点から点Dまでの長さをｘとすると
ｈ＝√（OD＾2-ｘ＾２）＝√（OE＾２-（DE-ｘ）＾２）
12-ｘ＾２＝13-（√7-ｘ）＾２＝13-（7-2√7ｘ+ｘ＾２）
6＝2√7ｘ
x=3√7/7
cosθ＝x/OD＝3√7/7　÷　2√３＝√21/14　となります。

△ODEの面積はDE*ｈ/2＝√7*√（12-9/7）/2＝√7*√（75/7）/2＝5√3/2　となります。

これをODを軸として回転させてできるものは、ODにEから垂線を下ろして分割すると分かり易いと思いますが、
2つの円錐が上下逆さでくっついた形になっています。
円錐の体積は底面積×高さ÷３なので、まず底面積を求めます。
これはEからODにおろした垂線の長さを出すことで求めることができます。この長さをｙとすると
OD×ｙ÷2＝ODEの面積となるので、
√３ｙ＝5√3/2　となり　ｙ＝5/2です。
底面積＝ｙ＾２π＝25π/4
体積＝25π/4×OD÷3＝25π/4*2√3/3＝（25√3/6）π　となります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
考え方まで詳しく書いてくださりありがとうございました！
理解しながら解くことが出来ました♪

お礼日時：2017/01/13 05:41