センター物理 動滑車

図1のように、なめらかで水平な台の上に質量mの物体Aと質量2mの物体Bを置き、それらを軽くて伸び縮みしない糸でつなぎ、糸を台に固定した定滑車に通して鉛直に垂らした、この糸に動滑車をかけ、それに質量mの物体Cを取り付けた、三つの物体を同時に静かに離した所、Cは鉛直下向きに動き、Aは図1の水平右向きに、Bは水平左向きに動いた、このとき、Cの移動距離はAとBの移動距離の合計の1/2倍である、ただし、運動はAとBが定滑車に衝突しない範囲で考えるものとする
また、滑車はすべて質量を無視でき、なめらかに回転する、Aと定滑車の間の糸とBと定滑車の間の糸は水平であり、定滑車と動滑車の間の糸は鉛直である、又、重力加速度の大きさをgとする、Aの加速度の大きさをa,Bの加速度の大きさをb,Cの加速度の大きさをc,糸の張力の大きさをTとする

この問題文でCの移動距離はAとBの移動距離の合計の1/2倍であるとありますが、これはこの問題に限らず常識的な事なのでしょうか？そうだとしたら何故そうなるのか是非証明の方を宜しくお願いします

No.13 回答者： CC_T 回答日時： 2015/01/06 16:29

少なくともあなたは「見て理解する」タイプでは無いようです。

「手を動かし、全身の感覚で理解する」というスポーツマンに多いタイプでしょうかね。

No.10捕捉>この場合と滑車の場合は同じなのですか？
No.10捕捉>この色のついた紙はどういう事を意味しているのですか？

こちらはすでに話は1+1＝2を証明するってレベルまで来ていると思ってます。
そう、「リンゴが１つある。そこにもう一つ持って来たら合わせて幾つになるでしょう」ってレベルの話です。

ただ、あなたがどこを理解できていないのか、言葉足らずでさっぱりこちらに分からない。こちらは図を併用して回答を与えても、あなたは自分の中の1行目から先に考えが進めようとしていないように見受けられる。
こちらも頭の中のモヤモヤを言葉にして説明できない児童を相手するのに慣れた先生職ではない普通の素人なので、1+1＝2や、1/3＋2/3＝１という「常識として認識している事項」をあなたにどう説明したものか、よく分かっていないのです。
見たままが理解できないなら、再三書いたように手を動かして自分で実際にやってみてから改めて聞いてみて下さい（やってみましたか？）。

No.10回答の図は糸をぶつ切りにして１コマ1コマを紙におき変えて概念的に表したもの。ですから色つきタイルが左から右に移動するときは、180度回転しています。設問では糸は伸び縮みしないという設定ですし、紙ももちろん伸び縮みしません。色の付いた紙がどう動くのか実際に手を動かして試しながら、動滑車で糸がどのように動くか考えてみて下さい。

たぶん無駄だろうけど、動滑車の参考動画もリンクはっときます。

この回答への補足

>（やってみましたか？）。
やってみたいですが、家に定滑車や動滑車は無いしどうすればいいのか分からないんです

補足日時：2015/01/06 16:38

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/06 16:38

No.12 回答者： gohtraw 回答日時： 2015/01/06 16:21

＞では両端の糸がdだけ下がるときに動滑車もd下がると言う理由は何ですか？

相変わらずトホホだな。数学的な厳密さまでは必要ないと考えていた私が愚か
だったよ。

動滑車の中心を点Ｏとし、点Ｏを通る水平な直線と糸の交点をそれぞれ点ＰおよびＱ
とする。今、動滑車が鉛直方向にｄだけ下に下がり、点Ｏが点Ｏ’に、点ＰおよびＱが
点Ｐ’及び点Ｑ’にそれぞれ移動した。すると四角形ＰＱＱ’Ｐ’は長方形となる。点Ｏは
線分ＰＱの中点であり、点Ｏ’は線分Ｐ’Ｑ’の中点なので、四角形ＯＰＰ’Ｏ’は長方形
である。よって
ＯＯ’＝ＰＰ’＝ＱＱ’＝ｄ

これを図に書いて確認してみてはとＮｏ７で書いたのだが、判らなかったか？

この回答への補足

>ＯＯ’＝ＰＰ’＝ＱＱ’＝ｄ
これが分かって何で定滑車と動滑車を結ぶ両端の糸もdだけ下がったことになるんですか？
この式は動滑車がdだけ下がった事しか示してないんじゃないですか？

補足日時：2015/01/06 16:25

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/06 16:26

No.11 回答者： gohtraw 回答日時： 2015/01/06 15:41

＞見た感じだと全部dずつ降りそうですが、それを理屈で示してほしいです

垂直になっている二本の糸がいずれもｄ／２だけ長くなったときに動滑車が
ｄだけ下に下がると言っているのかな？もしそうだとしたら、その証明は
私には出来ないよ。間違いだと考えるから。

それにその義務があるとも思わないね。ある説が正しいことを証明する義務
は、その正しさを信じるものが負うべきだろう。私は、自分が正しいと
考える説の証明を既に示している。

この回答への補足

では両端の糸がdだけ下がるときに動滑車もd下がると言う理由は何ですか？

補足日時：2015/01/06 15:49

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/06 15:49

No.10 回答者： CC_T 回答日時： 2015/01/06 13:57

>垂直方向は糸が同じだけ伸びたら他の場所も同じだけ伸びるって事ですか？

糸は伸び縮みしないって設問に書いてあるでしょうに。
日本語がちゃんと通じているのか、かなり不安になってきました…。

頭で理解できないなら、手と目で確認しましょう。

紙を１枚用意してください。
１）紙の左上にA、右上にB、中央下にCと書いて下さい。
２）この状態で紙全体を回転させずに下方向にスライドしてみましょう。それがNo.4の左図の状態です。
　Cの移動距離cと（Aの移動距離a＋Bの移動距離b）の関係は、１：２になるのは明白です。
　同じ紙の上の点の移動距離として、a=b=cなんですから。
３）あとは今回添付の図のように紙を切って、抜き差ししながら考えて見てください。

この回答への補足

この場合と滑車の場合は同じなのですか？この色のついた紙はどういう事を意味しているのですか？

補足日時：2015/01/06 14:05

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/06 14:05

No.9 回答者： gohtraw 回答日時： 2015/01/06 13:35

＞両側の糸がd/2ずつ下がったらCはd下がれませんか？

そう思うなら証明please。
私の証明を間違いだという人は殆どいないと思うけどな。

この回答への補足

見た感じだと全部dずつ降りそうですが、それを理屈で示してほしいです

補足日時：2015/01/06 14:02

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/06 14:02

No.8 回答者： CC_T 回答日時： 2015/01/06 13:21

>Cがdだけ下がったとき左と右側の定滑車から動滑車までの糸がｄずつ伸びる

NO.4回答の左の図。AとBの重さが同じ場合ですね。

>見た目はそうだと思うんですが、これも何だか疑ってしまいます
はい、実験して自分の目で確かめてみて下さい。

この回答への補足

垂直方向は糸が同じだけ伸びたら他の場所も同じだけ伸びるって事ですか？しっくりくる御説明があれば是非宜しくお願いします

補足日時：2015/01/06 13:24

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/06 13:24

No.7 回答者： gohtraw 回答日時： 2015/01/06 13:16

＞Cがdだけ下がったとき左と右側の定滑車から動滑車までの糸が

＞ｄずつ伸びるのは当たり前なんですか

そうでなかったらどうやってCがｄだけ下に移動するのか教えてくれ。
図１に、ｄだけ下がった動滑車を書き加えて、二本の糸がどれだけ
長くなったか考えてみたら？

それと、私が持ちだした「Cがｄだけ下に下がる」ことへの補足を
他の回答者さんに向けるのは筋が違うだろ。私は構わんが、ご自分が
書いてもいないことに関して質問されるCC_Tさんは困るだろ。

この回答への補足

両側の糸がd/2ずつ下がったらCはd下がれませんか？

補足日時：2015/01/06 13:21

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/06 13:21

No.6 回答者： CC_T 回答日時： 2015/01/06 13:00

No.4補足>はい、xa+xb=xcになりそうなのですが、何故これでは駄目なのでしょうか？

あれ、そんな事どこかで回答してしまいましたか？
xa+xb=xcではなく
xa+xb=xc×２、つまりxc=1/2(xa+xb)の関係ですよ？
先の回答の図を良く見て下さい。

それで判らなければ身の回りのものを使って実際に測ってみることです。
糸とPETボトルキャップあたりと定規があればできるでしょう。

この回答への補足

Cがdだけ下がったとき左と右側の定滑車から動滑車までの糸がｄずつ伸びるのは当たり前なんですか？見た目はそうだと思うんですが、これも何だか疑ってしまいます

補足日時：2015/01/06 13:05

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/06 13:06

No.5 回答者： gohtraw 回答日時： 2015/01/06 12:51

左側の定滑車から動滑車までの間の糸の長さをＬとすると、

右側の定滑車から動滑車までの間の糸の長さもＬだ。

いま物体Ｃがｄだけ下に下がったとすると、
左側の定滑車から動滑車までの間の糸の長さはＬ＋ｄ
右側の定滑車から動滑車までの間の糸の長さもＬ＋ｄ

つまり、図で垂直になっている糸の長さは２ｄ増えたことになる。

この増加分である長さ２ｄの糸はどこから供給されたかというと
それはＡおよびＢが移動したことによる。

従って　Ａの移動距離＋Ｂの移動距離＝２ｄ

この回答への補足

Cがdだけ下がったとき左と右側の定滑車から動滑車までの糸がｄずつ伸びるのは当たり前なんですか？見た目はそうだと思うんですが、これも何だか疑ってしまいます

補足日時：2015/01/06 13:04

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/06 13:04

No.4 回答者： CC_T 回答日時： 2015/01/06 12:22

補足> Cがxc移動するときAとBはxc/2ずつ移動して合わせてxc移動するって事では駄目なんですか？

No.2ですが、補足で意図されておりところが不明です。
設問ではAとBの重さが異なるためにそれぞれに働く加速度に違いが出るって事を問いたいわけで、つまりxaとxbは等しくなりませんから、合計で示してあるのです。

糸が伸び縮みせず、床は滑らかってことで摩擦は考慮しないと言う事が暗に示されているわけで、この設問は今回添付の図の真ん中の図の形で考えると良いでしょう。

この回答への補足

はい、xa+xb=xcになりそうなのですが、何故これでは駄目なのでしょうか？AとBの移動距離だけ糸が下にたるむので、それがCの移動距離ではないのですか？

補足日時：2015/01/06 12:46

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/06 12:47