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以下の3題は全て1/2Iω^2(I:慣性モーメント、ω:角速度)を用いた位置エネルギーとのエネルギー保存で解いても大丈夫なのでしょうか?また、答えがあっているか確認していただけると助かります。
①鉛直壁Aに上端を接し、下端を鉛直壁Bと水平面Pに接して傾斜して保持された、長さL質量mの細い棒がある。壁Aを上方へ移動させて取り去り、棒を倒す。棒は上端が高さhの状態から下端を軸として鉛直面内を自由落下して落ちる。先端が接地した時の角速度ωを求めよ。重力加速度gとし、棒の慣性モーメントを考慮し、摩擦や空気抵抗は無視せよ。
回転エネルギーと位置エネルギーの和が保存されるので
1/2mgh=1/2Iω^2に,I=1/3mL^2を代入してωについてとく。
ω=√(3gh/L^2)
②高さhの両端で水平に保持された、長さL=2√3h、質量2mの細い棒を中央で切断する。棒は両端を軸として鉛直面内を自由回転して落ちる。棒は水平な状態から静かに落ち始めたとする。先端が接地した時の角速度ωを求めよ。摩擦や空気抵抗は無視せよ。
回転エネルギーと位置エネルギーの和が保存されるので
mgL=1/2mgL+1/2Iω^2に,I=1/3mL^2を代入してωについてとく。
ω=√(3g/L)
③傾斜30°の斜面に下端を固定して鉛直に立つ、長さL、質量mの細い棒を、その固定されている下端を切断して倒す。棒は切断された下端を軸として、鉛直面内を自由落下して倒れる。棒は鉛直状態から静かに倒れ始めたとする。先端が接地した時の角速度ωを求めよ。摩擦や空気抵抗は無視せよ。
回転エネルギーと位置エネルギーの和が保存されるので
mgL=1/2Iω^2に,I=1/3mL^2を代入してωについてとく。
ω=√(6g/L)
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
No.1です。
ちょっと時間ができたので解いてみました。①は垂直壁Bで棒の接地点の「滑り」が止められ、②も高さ h の「両端部」が回転軸として保持され、③も下端部は滑らずに回転軸となる、という条件なので、
(1)すべて重心位置の並進運動は、棒の中央部分(重心位置)の回転接線方向の速度に一致します。つまり、(角速度)×(重心位置の半径)=(並進速度)となります。
(2)また、回転の中心が棒の端部に固定されているので、重心周りの角速度は端部を中心とした棒の角速度と一致します。
さらに、共通で「長さ L の棒の重心周りの慣性モーメントは I = (mL^2)/12 」を使います。(この慣性モーメントの求め方は、他のサイトなり参考書を見てください)
ということで、いずれも力学的エネルギー保存の式は
(重心の並進運動の運動エネルギー)+(重心周りの回転運動の運動エネルギー)=(最初と最後の位置エネルギーの差)
ということになります。「位置エネルギーの差」は、「棒の重力」に「棒の重心位置の高さの差」をかけたものです。
式で書くと
(1/2)mv^2 + (1/2)Iω^2 = mg(h0 - hs) (A)
(h0:初期の重心位置の高さ、hs:最終の重心位置の高さ)
ただし、解いてみたら、結局は
(回転中心周りの回転運動の運動エネルギー)=(最初と最後の位置エネルギーの差)
でも同じ結果になりました。
何故なら、v=(1/2)Lω なので、(A)の左辺は
(1/2)m[(1/2)Lω]^2 + (1/2)(mL^2)ω^2/12
= (1/8)mL^2ω^2 + (1/24)mL^2ω^2
= (1/6)mL^2ω^2
= (1/2)I'ω^2
で I' = (mL^2)/3 という「棒の端部を回転中心とした慣性モーメント」を使った回転運動の運動エネルギーと等しくなるからです。
結局は、棒の下端が滑らないので「並進運動」は考えなくても同じということでした。
混乱させてすみませんでした。
①上記の(A)式に、
v = (1/2)Lω
I = mL^2/12
h0 = h/2
hs = 0
を代入して
ω^2 = 3gh/L^2
より
ω = (√3gh)/L
質問者さんの答と合っています。
②上記の(A)式に、
v = (1/2)Lω
I = mL^2/12
h0 = h/2
L = (√3)h
を代入して
ω^2 = g/h
より
ω = √(g/h)
この問題に関しては、質問者さんは「L」と「h」が混乱していると思います。
③本当に棒の初期状態は「鉛直に立つ」ですか? そうすると、どちらの方向に倒れるかによって、斜面に接地するまでの時間が変わりますから解答不能です。
「鉛直」とは「水平面に対して垂直」ということですから。
そうではなく、初期状態は「傾斜30°の斜面に下端を固定して斜面に垂直に立つ、長さL、質量mの細い棒」なのではありませんか? そうすれば、棒は斜面の下方向に倒れます。
その前提で解けば、上記の(A)式に、
v = (1/2)Lω
I = mL^2/12
h0 = (L/2)cos(30°)
hs = -(L/2)sin(30°)
を代入して
ω^2 = 3(1 + √3)g/2L
より
ω = √[ 3(1 + √3)g/2L ]
質問者さんの立式は、意味不明です。
回答の方ありがとうございます。
問題にはすべて図がございましてそちらを参考に立式の方がしてあり、lとhは別物でございます。写真の添付が1枚までしかできませんので文章だけをそのまま書いてあります。わかりづらくて申し訳御座いません。
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