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慣性モーメント　エネルギー保存

締切済

質問者：あべchan
質問日時：2016/08/16 15:48
回答数：2件

以下の3題は全て1/2Iω^2(I:慣性モーメント、ω:角速度）を用いた位置エネルギーとのエネルギー保存で解いても大丈夫なのでしょうか？また、答えがあっているか確認していただけると助かります。

①鉛直壁Aに上端を接し、下端を鉛直壁Bと水平面Pに接して傾斜して保持された、長さL質量mの細い棒がある。壁Aを上方へ移動させて取り去り、棒を倒す。棒は上端が高さhの状態から下端を軸として鉛直面内を自由落下して落ちる。先端が接地した時の角速度ωを求めよ。重力加速度gとし、棒の慣性モーメントを考慮し、摩擦や空気抵抗は無視せよ。

回転エネルギーと位置エネルギーの和が保存されるので
1/2mgh=1/2Iω^2に,I=1/3mL^2を代入してωについてとく。
ω＝√(3gh/L^2)

②高さhの両端で水平に保持された、長さL=2√3h、質量2mの細い棒を中央で切断する。棒は両端を軸として鉛直面内を自由回転して落ちる。棒は水平な状態から静かに落ち始めたとする。先端が接地した時の角速度ωを求めよ。摩擦や空気抵抗は無視せよ。

回転エネルギーと位置エネルギーの和が保存されるので
mgL=1/2mgL+1/2Iω^2に,I=1/3mL^2を代入してωについてとく。
ω＝√(3g/L)

③傾斜30°の斜面に下端を固定して鉛直に立つ、長さL、質量mの細い棒を、その固定されている下端を切断して倒す。棒は切断された下端を軸として、鉛直面内を自由落下して倒れる。棒は鉛直状態から静かに倒れ始めたとする。先端が接地した時の角速度ωを求めよ。摩擦や空気抵抗は無視せよ。

回転エネルギーと位置エネルギーの和が保存されるので
mgL=1/2Iω^2に,I=1/3mL^2を代入してωについてとく。
ω=√(6g/L)

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回答 (2件)

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No.2

回答者： yhr2
回答日時：2016/08/18 19:59

No.1です。

ちょっと時間ができたので解いてみました。

　①は垂直壁Bで棒の接地点の「滑り」が止められ、②も高さ h の「両端部」が回転軸として保持され、③も下端部は滑らずに回転軸となる、という条件なので、
（１）すべて重心位置の並進運動は、棒の中央部分（重心位置）の回転接線方向の速度に一致します。つまり、（角速度）×（重心位置の半径）＝（並進速度）となります。
（２）また、回転の中心が棒の端部に固定されているので、重心周りの角速度は端部を中心とした棒の角速度と一致します。

　さらに、共通で「長さ L の棒の重心周りの慣性モーメントは I = (mL^2)/12 」を使います。（この慣性モーメントの求め方は、他のサイトなり参考書を見てください）

　ということで、いずれも力学的エネルギー保存の式は
（重心の並進運動の運動エネルギー）+（重心周りの回転運動の運動エネルギー）＝（最初と最後の位置エネルギーの差）
ということになります。「位置エネルギーの差」は、「棒の重力」に「棒の重心位置の高さの差」をかけたものです。

　式で書くと
　　(1/2)mv^2 + (1/2)Iω^2 = mg(h0 - hs)　　(A)
（h0：初期の重心位置の高さ、hs：最終の重心位置の高さ）

　ただし、解いてみたら、結局は
　　（回転中心周りの回転運動の運動エネルギー）＝（最初と最後の位置エネルギーの差）
でも同じ結果になりました。
　何故なら、v=(1/2)Lω なので、(A)の左辺は
　　(1/2)m[(1/2)Lω]^2 + (1/2)(mL^2)ω^2/12
　= (1/8)mL^2ω^2 + (1/24)mL^2ω^2
　= (1/6)mL^2ω^2
　= (1/2)I'ω^2
で I' = (mL^2)/3 という「棒の端部を回転中心とした慣性モーメント」を使った回転運動の運動エネルギーと等しくなるからです。
　結局は、棒の下端が滑らないので「並進運動」は考えなくても同じということでした。
　混乱させてすみませんでした。

①上記の(A)式に、
　　v = (1/2)Lω
　　I = mL^2/12
　　h0 = h/2
　　hs = 0
を代入して
　　ω^2 = 3gh/L^2
より
　　ω = (√3gh)/L

　質問者さんの答と合っています。

②上記の(A)式に、
　v = (1/2)Lω
　I = mL^2/12
　h0 = h/2
　L = (√3)h
を代入して
　ω^2 = g/h
より
　ω = √(g/h)

この問題に関しては、質問者さんは「L」と「h」が混乱していると思います。

③本当に棒の初期状態は「鉛直に立つ」ですか？　そうすると、どちらの方向に倒れるかによって、斜面に接地するまでの時間が変わりますから解答不能です。
　「鉛直」とは「水平面に対して垂直」ということですから。

　そうではなく、初期状態は「傾斜30°の斜面に下端を固定して斜面に垂直に立つ、長さL、質量mの細い棒」なのではありませんか？　そうすれば、棒は斜面の下方向に倒れます。

　その前提で解けば、上記の(A)式に、
　　v = (1/2)Lω
　　I = mL^2/12
　　h0 = (L/2)cos(30°）
　　hs = -(L/2)sin(30°）
を代入して
　　ω^2 = 3(1 + √3)g/2L
より
　　ω = √[ 3(1 + √3)g/2L ]

　質問者さんの立式は、意味不明です。