大学受験数学の質問です。 「平面上の曲線Cが媒介変数tを用いてx=sint-tcost，y=cost

大学受験数学の質問です。
「平面上の曲線Cが媒介変数tを用いてx=sint-tcost，y=cost-tsint（0≦t≦π）で与えられている」とき、「曲線C上の各点Pにおける接線の方向ベクトルは（sint，cost）である」と模範解答にはあるのですが、どうしても接線の方向ベクトルの求め方がわかりません。教えてください。よろしくお願いしますm(_ _)m

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます！ 引き続きお付き合いお願いします…m(_ _)m
  
  dx/dt=tsint，dy/dt=tcost で間違いはないですよね…？
  接線の方向ベクトルが（dx/dt，dy/dt）で表されるなら、（tsint，tcost）となって、模範解答にある（sint，cost）と一致しませんよね…。
  一体私は何を間違えているのでしょうか…。助けてくださいm(_ _)m苦笑

    補足日時：2017/02/27 16:32

No.3 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/02/27 17:38

#1のものです。

>dx/dt=tsint，dy/dt=tcost で間違いはないですよね…？
これは間違いないです。

方向ベクトルとは向きだけが問題となるため、その大きさは何でもよいのです。
たとえば方向としては(1,1)の指すものと(2,2)の指すものは同じです。
また、直線の方向は180度違うものも許容されるため(1,1)と(-1,-1)も同じ方向とみなせます。

今回の場合、(t*sint,t*cost)はt*(sint,cost)とも表せます。上に書いた通り、定数倍tで割っても方向としては同じなので(sint,cost)としてもよいのです。

また、方向ベクトルの大きさを"1"にしておくと扱いやすい(そのような方向ベクトルを単位方向ベクトルと呼びます)ので、方向ベクトルをその大きさであらかじめ割っておくと便利です。
|(t*sint,t*cost)|=|t|*√{(sint)^2+(cost)^2}=|t|
であり、|t|で割っておくことはそれなりに合理性があります。

この回答へのお礼

このサイトを利用するのは初めてなのでいまいちわかっていないのですが、「お礼する」で返信すれば回答者さま全員に返事が伝わるのかな…？ということでここに綴りますね。

模範解答では「接線の方向ベクトルは～であるから、法線は sint·(x-sint+tcost)+cost·(y-cost-tsint)=0」と続いていました。
法線の方程式を求めるために方向ベクトルを考えている、ということを言っておけばきっとみなさまもっと回答しやすかったですよね、すみません…！

方向ベクトルは大きさは何でも良いということ、すっかり失念していました！ 方向ベクトルを使って考える問題にあまり遭遇してこなかったのですごく苦戦してしまいました…(^ω^;);););)

ベストアンサーは一番理解の助けになる回答をしてくださったrnakamraさんに。他の方々も本当にありがとうございました！ 助かりました！ 引き続き勉強がんばります！

お礼日時：2017/02/27 22:19

No.4 回答者： tekcycle 回答日時： 2017/02/27 20:37

約分。

原点と(２,１)を結ぶ直線の傾きは、(１－０)／(２－０)で１／２ですよね？
では、(仮に)原点と(tsint,tcost)を結ぶ直線の傾きは？
というか、全然模範的な解答じゃ無いですよね。
その解答では、(sint,cost)はどこから出てきたんでしょうか？
略解は略解で認めるけれど、いい加減な解答ばかり読ませていると、読んだ受験生が正しい解答を書けなくなるでしょう。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2017/02/27 17:23

たぶん、その接線ベクトルというのは、大きさ1じゃないですかね？

だったら、ベクトル（tsint，tcost）の大きさはｔなので、ｔで割らなくてはいけません。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/02/27 16:14

接線の傾きから計算する方法。

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
となります。dy/dt,dx/dtの計算はできるでしょうから、この式から接線の傾きがわかります。
接線の傾きをaとすると接線の方向ベクトルは(1,a)となります。
この場合dx/dt=0については分けて考える必要があります。

直接方向ベクトルを計算する方法。
そのものずばり
(dx/dt,dy/dt)
が接線の方向ベクトルになります。