数学の問題です f(x)=arcsin√(1-x^2) の定義域と値域の求め方を教えてほしいです！

数学の問題です

f(x)=arcsin√(1-x^2)
の定義域と値域の求め方を教えてほしいです！

お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： kenzou03 回答日時： 2017/06/17 05:58

逆関数の条件として、y=f(x)の値域に含まれる任意のｙに対して、対応するxの値がただ１つ定まることがあります。

つまり１：１対応です。
y=sinxの場合、yに対して対応するxは無限にあります。従って、sinxの逆関数を定義できる範囲は-π/2≦x≦π/2です。
また、逆関数ではxとｙが入れ替わると同時に、定義域と値域が入れ替わります。
y=sinx　　定義域-π/2≦x≦π/2、値域-1≦y≦1
y=asinx　　定義域-1≦x≦1、値域-π/2≦y≦π/2
また、逆関数はy=xに対称になることも特徴です。
下図を見て頂くと、定義域と値域が入れ替わっていること、y=xに対称であることが分かります。

蛇足ですが、y=xに対称であることを証明するにはいろいろありますが、２つ紹介しておきます。
具体的な計算は自分でやってみてください。
１．y=f(x)上の点A=(a,f(a))とx=y(x)の点B=(f(a),a)のベクトルとy=xの方向を示す単位ベクトル(1,1)の内積が０となるので直交する。
２．点Ａと点Ｂの中点がy=x上を通る。

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2017/06/12 22:15

θ=arcsin y

の定義域は -1≦y≦1 で値域は -π/2≦θ≦π/2 なので、
-1≦√(1-x^2)≦1
0≦1-x^2≦1
-1≦-x^2≦0
0≦x^2≦1
x^2-1≦0
(x+1)(x-1)≦0
-1≦x≦1 [定義域]

一方、値域は上記 y が負にならないので、0≦θ≦π/2
よって
0≦f(x)≦π/2 [値域]

この回答へのお礼

なるほどです！
yが負にならないというところを見逃していました…！スッキリです(*´꒳`*)

お礼日時：2017/06/12 22:33