数学の問題教えてください。 問題:2次不等式 kx2乗-4kx-2≦0(k≠0) の2次不等式の解が

数学の問題教えてください。
問題:2次不等式 kx2乗-4kx-2≦0(k≠0) の2次不等式の解がx≦2-√3、2+√3≦xとなる定数kの値を求めよ。

答え:k=-2

解き方を教えてください。

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2017/09/22 13:50

y=kx^2ー4kxー2 において、y≦0の時、条件の範囲になるには、k＜0 である。

その条件の元
y=k｛ (xー2)^2ー4ー2/k ≦0
両辺をkで、割ると
(xー2)^2≧ 4+2/k
∴ x≧2+√(4+2/k) または x≦2ー√(4+2/k) だから
係数比較して
4+2/k=3 ∴k=ー2

No.2 回答者： banzaiA 回答日時： 2017/09/22 17:01

kx²-4kx-2≦0 (k≠0)　①

kx²-4kx-2=0 として解くと x={2k±√(4k²+2k)}/k なので
①の不等式の解は、　x≦{2k-√(4k²+2k)}/k, {2k+√(4k²+2k)}/k≦x
与えられた不等式の解は、x≦2-√3、2+√3≦x
∴　{2k-√(4k²+2k)}/k=2-√3 , {2k+√(4k²+2k)}/k=2+√3
{2k-√(4k²+2k)}/k=2-√3 の時
2k-√(4k²+2k)=2k-√3・k
√(4k²+2k)=√(3・k²) 4k²+2k=3k² 　k²+2k=k(k+2)=0 ∴　K=-2

No.3 回答者： ji6 回答日時： 2017/09/27 06:43

結論の方からアプローチしてみましょう。

① 解が x ≦ 2−√3 , 2+√3 ≦ x となる2次不等式は？

② それは {x-(2-√3)}{x-(2+√3)} ≧ 0

③ 2±√3 を( )に入れたまま展開すると

x^2-{(2-√3)+(2+√3)}x+(2-√3)(2+√3) ≧ 0

整理をすると簡単になって

x^2-4x+1 ≧ 0 …B

④ 問題の式とAを比較します。

問 題 の 式 kx^2-4kx-2 ≦ 0 …A

結論から導いた式 x^2-4x+1 ≧ 0 …B

AとBは同じ式になるはずなので、Bの両辺にk をかけます。

かけるkの値の正負で 不等号の向きが変わります。
k < 0 としなければAと同じにできないことがわかります。

Bの両辺にk(k<0) をかけると kx^2-4kx+k ≦ 0 …B’

AとBを比較して、k が求まります。

※ 2+√3 も 2–√3 もこれで1つの数です。
( )に入れて1個の数のように見て展開しましょう。