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条件付き確率の問題です。
白玉4個と赤玉2個が入っている袋から1個づつ続けて二個取り出し、1番目の玉の色は見ずに箱の中にしまった。2番目の玉が赤玉である時、1番目が赤玉である確率を求めよ。
という問題です。
公式を使うということは分かるのですがP(A∩B)/P(A)のP(A∩B)の求め方が分かりません!
教えてください!

A 回答 (3件)

2番目に赤は、


白ー赤 ,(4/6)・(2/5)=8/30 …(0)
赤ー赤 ,(2/6)・(1/5)=2/30 …(1)
だから、(8+2)/30=1/3
これは、1番目に赤つまり、2/6=1/3で、次にどちらでもいいので1としたものと同じです
から、1番目が赤は、(2-1)/(6-1)=1/5…(2)で、(1)より2/30=1/15です。…(3)

p(A)=1/3 …2番目が赤
p(A∩B)=(1/15)/(1/3)=1/5 …2番目が赤の元、1番目が赤

→p(A∩B)=2/30=1/15 …(1)です。

2番目が赤の元
1番目が赤は、(2-1)/(6-1)=1/5 がp(A∩B)の計算になります!
→公式ならp(A∩B)/p(A)=(1/15)/(1/3)=1/5 …Ans

に訂正します!すみませんね!!

でも、(3)で、直接答えはでてきます。順番は考慮しなくていいから!

または、場合の数でやれば、(0),(1)より
I A∩B I/ I A I=2/10=1/5 と分母が8+2=10となるところに注意してください!
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2番目に赤は、


白ー赤 ,(4/6)・(2/5)=8/30
赤ー赤 ,(2/6)・(1/5)=2/30 …(1)
だから、(8+2)/30=1/3
これは、1番目に赤つまり、2/6=1/3で、次にどちらでもいいので1としたものと同じです
から、1番目が赤は、(2-1)/(6-1)=1/5…(2)で、(1)より2/30=1/15です。…(3)

p(A)=1/3 …2番目が赤
p(A∩B)=(1/15)/(1/3)=1/5 …2番目が赤の元、1番目が赤

2番目が赤の元
1番目が赤は、(2-1)/(6-1)=1/5 がp(A∩B)の計算になります!
でも、(3)で、直接答えはでてきます。順番は考慮しなくていいから!
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その問題文だと、1番目の玉を取り出した時点では、玉の色が赤であった確率は、2/6=1/3になってしまいそうです。



2番目の玉を取り出すことや、1番目の玉を箱に戻すことによって、1番目に引いたときの赤を引く確率が変わるわけではないので。。
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Q条件付き確率の問題について

「箱Aには赤玉2個、箱Bには赤玉と白玉が1個ずつ、箱Cには白玉が2個入っている。無作為に1つの箱を選んで玉を1個取り出したら赤玉であった。このとき、選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である確率を求めよ。」
 という問題について、
 1)まず、どれか箱ひとつを選んで赤玉一つを取り出した時の確率:A
 2)そして選んだ箱の残りの玉が赤玉である確率:B
 として考えた時、
  1)P(A) = 1/3 X 2/2 + 1/3 X 1/2 = 2/6 + 1/6 = 1/2
  2)P(B)はつまり、1/2でA,Bの箱を選び、その箱がAであるのは、1/2
  よって、求める確率は1/4になるのではないかと思いますが、
 実際は、P(B) = 1/3 X 2/2 = 1/3から P(B) / P(A) = 2/3という回答において、
 なぜ、1)で一箱を選んだのに、また再度3箱から一箱を選ばなければならないのか
 理由がわかりません。

申し訳ありませんが、詳しくご説明頂ける方宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

Aが起こったとして、Bの起こる条件付き確率は
P[A](B)=P(A∩B)/P(A)
です。
A が小さく書けないので、 [A] としています。

この問題では、
「 玉を1個取り出したら赤玉であったとき、
 選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である条件付き確率を求めよ。 」
になるわけですが、

赤玉を取り出す事象を R
と、これはすぐにおくことができるのですが、

『 選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である 』
というのは、
この箱の中には、 赤玉が 《 2個 》 入っていることになるので、 
言いかえると、
『 箱Aを選ぶ 』
ことになるのではないでしょうか?

なので、
箱Aを選ぶという事象を A
とすると、

これで、求める確率は
P[R](A)=P(R∩A)/P(R)
になります。

分母の P(R) は、 質問にもある計算で、
P(R)=1/3 × 2/2 + 1/3 × 1/2 = 2/6 + 1/6 = 1/2 
であり、
分子の P(R∩A) は、
P(R∩A)=P(A∩R)=1/3×2/2=2/6=1/3 ・・・・・(★)
になります。

これから、
P[R](B)=P(R∩A)/P(R)=(1/3)/(1/2)=2/3
になります。

実際は、P(B) = 1/3 X 2/2 = 1/3から P(B) / P(A) = 2/3という回答において、
なぜ、1)で一箱を選んだのに、また再度3箱から一箱を選ばなければならないのか
理由がわかりません。

  ↓↓↓

P(R)=1/3 × 2/2 + 1/3 × 1/2 = 2/6 + 1/6 = 1/2
の式ですが、

箱Bを選ぶという事象を B、箱Cを選ぶという事象を C とすると、
1/3 × 2/2 は、箱Aの赤玉を取り出す確率 つまり P(A∩R)=P(R∩A) で、 ( ⇦ (★)印 )
1/3 × 1/2 は、箱Bの赤玉を取り出す確率 つまり P(B∩R) です。

Aが起こったとして、Bの起こる条件付き確率は
P[A](B)=P(A∩B)/P(A)
です。
A が小さく書けないので、 [A] としています。

この問題では、
「 玉を1個取り出したら赤玉であったとき、
 選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である条件付き確率を求めよ。 」
になるわけですが、

赤玉を取り出す事象を R
と、これはすぐにおくことができるのですが、

『 選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である 』
というのは、
この箱の中には、 赤玉が 《 2個 》 入っていることになるので、 
言...続きを読む

Q条件付き確率の問題です。 赤玉7個、白玉3個が入った袋の中から、先ず2個を取り出し、元に戻さず続け

条件付き確率の問題です。

赤玉7個、白玉3個が入った袋の中から、先ず2個を取り出し、元に戻さず続けて1個取り出す時の、次の確率を求めなさい。

初めの2個がともに赤であった時、次の1個が白である確率。

C(コンビネーション)を使ったやり方で解説されているのですが、なぜコンビネーションなのかわかりません(^_^;)

解答は8C1分の3C1となっています。

Aベストアンサー

どうせ 1個しか取り出さないんだから, コンビネーションでもパーミュテーションでも同じことだよね.

Q条件付き確率の問題(順に1個ずつもとに戻さないで何個か取り出す)

条件付き確率の問題(順に1個ずつもとに戻さないで何個か取り出す)
高校教科書レベルの問題ですが、よろしくお願いします。

数研の数学Bの教科書の条件付き確率の問題で次のようなものがありました。

白玉7個と赤玉3個の入っている袋から、玉を取り出すとき、次の確率を求めよ。
(1) 省略
(2) 同時に5個を取り出したとき、3個が白で2個が赤である確率
(3) 順に1個ずつ、もとに戻さないで5個取り出したとき、3個が白で、2個が赤である確率

* 以下の解答ではn個からr個を取り出したときの組み合わせをC(n,r)と表します。

【解】
(2) C(7,3)*C(3,2)/C(10,5)=5/12

(3) 私は(2)と(3)とは実質的には同じ試行と見なし、即座に5/12と出したのですが、参考書(教科書ガイド)には次のような詳しい解がありました。

質問は、私がしたように、「(2)と(3)とは実質的には同じ試行と見なし」てもよいかどうかということです。たしかに下のようにやれば厳密で、お説ごもっともではありますが、時間の無駄(失礼!)とも思えるのですが。

【教科書ガイドの解答】
順に1個ずつ、もとに戻さないで5個取り出したとき、3個が白で、2個が赤となる場合の取りだし方は、同じものを含む順列と考えて、5!/3!2!=10(通り)である。

その1通りについて、例えば、白白白赤赤と出るときの確率は
(7/10)*(6/9)*(5/8)*(3/7)*(2/6)=1/24 で、これは分子の積の順序が異なるだけで10通りのすべての場合に等しく、それぞれの事象は排反である。

従って、加法定理により、(1/24)*10=5/12

以上、よろしくお願いいたします。

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高校教科書レベルの問題ですが、よろしくお願いします。

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白玉7個と赤玉3個の入っている袋から、玉を取り出すとき、次の確率を求めよ。
(1) 省略
(2) 同時に5個を取り出したとき、3個が白で2個が赤である確率
(3) 順に1個ずつ、もとに戻さないで5個取り出したとき、3個が白で、2個が赤である確率

* 以下の解答ではn個からr個を取り出したときの組み合わせ...続きを読む

Aベストアンサー

この問題の目的は、(2)と(3)が同じ答えになることを見つけさせることだと思います。

テキストと同じ答え(解き方に)しないと正解を出さない先生が多いから、数学嫌いが増えるのです。

実際のテストでは、(2)と同じ答えだからという説明だけで答えを書くと「ごまかした」と思われて点数はもらえないでしょう。

時間の無駄かもしれませんが、テストでは、誤解されないように解答しておく必要がありますね。点数はもらえなくてもよいから、そんなわかりきったことを計算しないでも良いと押し通せる人のほうが、将来は楽しみだと思います。

Q反復試行の確率

赤球1個と白球2個と青球3個が入った袋から1個の玉を取り出し、色を調べてからもとに戻すことを5回行う。この時、赤球が1回、白球が2回、青球が2回出る確率を求める問題です。答えは5/36なんですが、解き方がわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

詳しい計算方法はNo.1の方が書いておられますので
公式を書いておきます。

組み合わせの記号を使って

5C1×4C2×2C2×(1/6)×(2/6)^2×(3/6)^2
です。

若干補足しておくと
最初の5C1の5は反復を5回行うという意味で
うち1回が赤なので5C1です。
次に5回中1回は赤と決めたので残りは4回
その4回中2回が赤なので4C2
これで5回中3回分決まったので残り2回
2回中2回青なので2C2となります。
(計算したら2C2=1なので最後の2C2は掛け算しなくても結果自体は一緒になりますが)

最後に赤が1回出る確率1/6
白が2回出る確率(2/6)^2
青が2回出る確率(3/6)^2
を掛け算しておしまいです。

公式覚えてしまえばかなり計算は速くなりますが
大学受験に必要なら公式なしでもできるようにしておきましょう。

Q条件付確率の問題ですー高校数学

下記の問題がよくわかりません。

箱Aに白玉4個と赤玉5個、箱Bに白玉3個と赤玉2個と青玉7個が入っている。まず、さいころを投げて1,2,3,6がでたら箱Aを、それ以外が出たら箱Bを選び、次にその箱の中から玉を1個取り出すものとする。取り出された玉の色が白であったとき、それが箱Bから取り出された確率を求めなさい。

まず、箱Bになる確率が2/6、箱Bの中から白を取り出すのが3/12なので、2/6*3/12 = 1/12ではないでしょうか。

箱がAかBか分からないときは、白玉を取る確率をP(w)、箱Aを取る確率をP(A)とすると、
Pw(A) = P(Aかつw) / P(A)
の公式を使って解くことになると思いますが。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

悩みはよーくわかりますよ。

でも、確率というのは、
例えば、52枚のトランプの中から

(1)スペードの13枚だけを選んで(13/52)、
その後その13枚の中からエースを選んで(1/13)も、

(2)エースの4枚だけを選んで(4/52)、
その後その4枚の中からスペードを選んで(1/4)も、

(13/52)x(1/13)=(1/52)
(4/52)x(1/4)=(1/52)
いきなり最初からスペードのエースを狙い打ちしても(1/52)

まあ言い訳じゃないですけどちょっと眠たいんで、
確率でないことを確率っぽく言ってることに今反省しながら書いていますけど、

   どんな経路をたどっても、考え方さえ正しければ計算結果は同じ

ということだけは伝わることを祈っています。


それに、掛け算というのは、
(13/52)x(1/13) も (1/13)x(13/52) も 計算結果は同じです。

というわけで、
ABを選んでから、白赤青(4:5:0または3:2:7)を選んでも、
白赤青(4:5:0または3:2:7)を選んでから、ABを選んでも(?)
計算的には変わらないのです。

だからと言って、問題を解く時に
  「まず白赤青4:5:0の中から白を選んで」 と考え始めたらダメ!
ですよ。あくまでロジックの話をしています。


えっとですね。
一種の逆算というか、さかのぼりですよ。場合の数で樹形図を時々描くでしょう。あれを、
   幹 → 枝 → 葉  ではなく
   葉 → 枝 → 幹  という逆順でおおもとをたどるのです。

白が出た、という事実そのものは変わりません。
でも、原因調査をすると、
A経路で白が出たのか、
B経路で白が出たのか、

その2つ以外のケース以外は考えられない、となるのです。

となると、
白が出たことはわかっているもとで、それがB経路だった確率 というものも机上では計算できるのですよ。

メンデルの遺伝で、
父Ao と 母Ao から 子Ao が生まれたときに、このoは父からもらったのか母からもらったのか、と考えるのと似ています。
oをもらったのは紛れもない事実で、どうやってoを受け取ったのか、を考えると2通り考えられるから、父からもらった確率は2分の1、という理屈です。だいぶ端折りましたけど。

悩みはよーくわかりますよ。

でも、確率というのは、
例えば、52枚のトランプの中から

(1)スペードの13枚だけを選んで(13/52)、
その後その13枚の中からエースを選んで(1/13)も、

(2)エースの4枚だけを選んで(4/52)、
その後その4枚の中からスペードを選んで(1/4)も、

(13/52)x(1/13)=(1/52)
(4/52)x(1/4)=(1/52)
いきなり最初からスペードのエースを狙い打ちしても(1/52)

まあ言い訳じゃないですけどちょっと眠たいんで、
確率でないことを確率っぽく言ってること...続きを読む

Q赤玉3個、白玉2個が入った袋から、玉を一個ずつ順に合計2個の玉を取り出す。ただし取り出した玉は元に戻

赤玉3個、白玉2個が入った袋から、玉を一個ずつ順に合計2個の玉を取り出す。ただし取り出した玉は元に戻さない。1個目に赤玉を取り出す事象をA、2個目に赤玉を取り出す事象をBとするとき、P(B)を求めよ。
解けずに困っています。どなたか解説をお願いします。

Aベストアンサー

・1個目白で2個目赤
1個目白=2/5、残りは赤3白1の4個。ここから赤だから3/4
∴確率= 2/5 × 3/4 = 6/20=3/10

・1個目赤で2個目赤
1個目赤=3/5、残りは赤2白2の4個。ここから赤だから1/2
∴確率= 3/5 × 1/2 = 3/10

上記のどちらかだから、3/10 + 3/10 = 6/10 =3/5

Q赤玉と白玉の確率

「袋の中に白玉4個と赤玉2個が入っている。まず、この袋から無作為に玉を1個取り出し、次に赤玉と白玉を1個ずつ袋に入れる。そして、もう一度この袋から無作為に玉を1個取り出したとき、それが赤玉である確率を求めよ。」

こちらの問題の答えは「8/21」と記されているのですが、解き方が分かりません。「一度一個取り出してから、赤白の玉を入れる」という操作があるので、どう式を立てればよいか分からなくなりました。「C」の公式を使えばよいのでしょうか。

どなたか教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

1回目に取り出した玉が赤であるか白であるかで場合分けを考えてみましょう
起こりうる場合は
(1)1回目に赤を取り出し2回目も赤である場合
または
(2)1回目に白を取り出し2回目に赤を取り出す場合
で互いに排反する

(1)のとき1回目に赤を取り出す確率は2/6
残っている玉は(赤、白)=(4,1)
新しく玉が入って(赤、白)=(5,2)となるので2回目に赤を取り出す確率は2/7
このときの確率は(2/6)*(2/7)

(2)のとき1回目に白を取り出すのは4/6
残っている玉は(赤、白)=(3,2)
新しく玉が入って(赤、白)=(4,3)となるので2回目に赤を取り出す確率は3/7
このときの確率は(4/6)*(3/7)

よって求める確率は(2/6)*(2/7)+(4/6)*(3/7)となります。

Q確率の問題です 赤玉2個と白玉3個から、同時に2個取り出した時、少なくとも赤玉が1個ある確率は? っ

確率の問題です

赤玉2個と白玉3個から、同時に2個取り出した時、少なくとも赤玉が1個ある確率は?

っていう問題で、2C1×4C1/5C2

で求められないのは、これは 赤玉1個とその他との積事象のため、重なった部分、つまり赤玉2個の部分を引いていないからですか?

Aベストアンサー

2C1×4C1は複雑な考え方のようです。
赤玉をR1 R2 白をW1 w2 w3として樹形図を書くと 2C1×4C1は
R1-R2
- W1
-W2
-W3
R2-R1
- W1
-W2
-W3
の8通りを計算しています。
おっしゃるとおり、R1-R2を(赤玉2この場合を)2回数えてしまっているので
2C1×4C1-1としなければいけないようです。

Q確率の求め方

男子3人、女3人の計6人がくじで順番を決めて1列に並ぶとき、次の確率を求めよ。

(1)特定の2人A,Bが隣り合う確率
(2)両端に男子が並ぶ確率
(3)男女が交互に並ぶ確率

Cを使うのだと思いますが、式の立て方がわかりません。

Aベストアンサー

6人が一列に並ぶ場合の数は6!=6・5・4・3・2(通り)。
(1)A,Bをまとめて1人と考えると,5人が一列に並ぶ場合の数は5!=5・4・3・2(通り)。
  A,Bの並び方は2!=2(通り)。したがって条件を満たす並び方は5・4・3・2・2(通り)。
  よって求める確率は(5・4・3・2・2)/(6・5・4・3・2)=2/6=1/3
(2)条件を満たす並び方は3P2×(6-2)!=3・2・4・3・2(通り)。
  よって求める確率は(3・2・4・3・2)/(6・5・4・3・2)=1/5
(3)条件を満たす並び方は男女男女男女と女男女男女男の2パターンがある。
  前者・後者とも並び方は3・3・2・2・1・1=3・3・2・2(通り)なので,
  条件を満たす並び方は3・3・2・2・2(通り)。
  よって求める確率は(3・3・2・2・2)/(6・5・4・3・2)=3/(6・5)=1/10

Q数Aの問題です。 5個の数字0,1,2,3,4を用いて3桁の整数を作る。ただし同じ数字を何回用いても

数Aの問題です。
5個の数字0,1,2,3,4を用いて3桁の整数を作る。ただし同じ数字を何回用いてもよい。3桁の整数は全部で何個できるか。
また、300以上の奇数は全部で何個できるか。

Aベストアンサー

>300以上の奇数は全部で何個できるか。

3桁の奇数なので場合分けするよりも数えた方が早そう。

301,303,311,313,321,323,331,333,341,343,401.403,411,413,421,423,431,433,441,443の20個。

>5個の数字0,1,2,3,4を用いて3桁の整数を作る。ただし同じ数字を何回用いてもよい。3桁の整数は全部で何個できるか。

百の位が1の時、十の位と一の位の選び方は5通りずつで、5×5=25通り。
百の位が2,3,4の場合も同様なので、25×4=100通り。

3桁の整数は100個、300以上の奇数は20個。


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