a,bを有理数とする。二次方程式x^2+ax+b=0の1つの解が1+√2であるときa,bの値の求め方

a,bを有理数とする。二次方程式x^2+ax+b=0の1つの解が1+√2であるときa,bの値の求め方を教えてください。

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/02/19 17:06

|a|−|b|≦|a+b|≦|a|+|b|＿＿(1)

不等式の各辺を二乗すると
(|a|−|b|)^2≦(|a+b|)^2≦(|a|+|b|)^2＿＿(2)
|a|^2−2|a||b|+|b|^2≦|a|^2+2ab+|b|^2≦|a|^2+2|a||b|+|b|^2＿＿(3)
各辺から|a|^2+|b|^2を引くと
−2|a||b|≦2ab≦2|a||b|＿＿(4)
まず、不等式(4)の成立を確認する。(4)から(3)と(2)を証明する。(2)の各辺の正の平方根を取ると、正の平方根を取る関数√は単調増加関数だから不等号の向きは変わらず成立する。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/02/19 16:21

a,bを有理数とする。

二次方程式x^2+ax+b=0の1つの解が1+√2であるときa,bの値の求め方
解を方程式に入れると、(1)となる。
(1+√2)^2+a(1+√2)+b=0
1+2+2√2+a+a√2+b=0
3+a+b +(2+a)√2 =0＿＿(1)
a,bを有理数として、これが成立する条件は
(2+a)=0＿＿(2)
なぜなら、もし(2+a)≠0なら、√2 =−(3+a+b)/(2+a)で無理数＝有理数となる。
a=−2＿＿(3)
これを(1)に入れると
b=−1＿＿(4)
方程式はx^2+ax+b= x^2−2x−1=(x−1)^2−2=0となり、矛盾はない。

No.2 回答者： ゆーしこーし 回答日時： 2018/02/17 19:46

解と係数の関係使うだけじゃん(笑)

A＋B=-b/a　AB=c/a　じゃろ？

あとはaとbを与えれた方程式に入れてそれを解いて１プラマイルート２になればおけ。

ならんだら知らん(笑)

No.1 回答者： グミ山 回答日時： 2018/02/17 19:36

与えられた方程式は係数が実数だから、1＋√2を解に持つならば、1＋√2の共役な複素数1－√2も解である。

解と係数の関係より、（1＋√2)＋(1－√2)＝2、(1＋√2)(1－√2)＝－1
よって、1＋√2、1－√2の2数を解に持つ二次方程式のひとつは、x^2-2x-1=０
だと思うんですが、間違ってたら、ごめんなさい！