次の問題をわかりやすく教えてください。 aはa>1を満たす定数とする. (1)xが不等式2≦a^x+

次の問題をわかりやすく教えてください。

aはa>1を満たす定数とする. (1)xが不等式2≦a^x+a^−x≦8を満たすときa^xの取りうる範囲及びxの取りうる範囲
(2)xが(1)で求めた範囲を満たし、xとyが
0≦(logay)+x≦loga2を満たすとき、yの最大値と最小値

質問者からの補足コメント

• 数2までの知識でお願いします

    補足日時：2018/04/08 08:12

• (1)すみません、⑧以降がわかりません。

    補足日時：2018/04/08 14:54

No.1 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/08 14:40

aはa>1を満たす定数とする. (1)xが不等式2≦a^x+a^−x≦8を満たすときa^xの取りうる範囲及びxの取りうる範囲

(2)xが(1)で求めた範囲を満たし、xとyが
0≦(logay)+x≦loga2を満たすとき、yの最大値と最小値
この問題は、二つの点で、トリッキーな問題です。問題文が明解でなく、誤解しやすい点があります。
(1)
a^x＝ｚ＿①
と置くと,z>0だから
２≦ｚ＋１/ｚ≦８＿②
ｚ＋１/ｚ≦８よりｚ^2+1≦8ｚ
ｚ^2−8ｚ+1≦0，(ｚ−4)^2−15≦0
4−√15≦ｚ≦4+√15＿③
4−√15≒0.127，4+√15≒7.87，(4−√15)(4+√15)=1
二つの限界値は互いに逆数になっている。不等式②のもう一方の側は
2≦ｚ＋１/ｚより2z≦ｚ^2+1
ｚ^2+1−2z≧0，(z−1)^2≧0＿④
となり、成立している。③④は⑤⑥に分けられる。⑥は⑦と同じだから
1≦ｚ≦4+√15＿⑤
4−√15≦ｚ≦1＿⑥
1≦1/ｚ≦4+√15＿⑦
⑤と⑥の領域では、zと1/zが互いに入れ替わり、条件式②は変化しない。⑤からはxの範囲は
０≦x≦logａ(4+√15) ＿⑧
となるが、⑥の範囲ではx＜0となるが、xと−xを入れ替えても, 条件式②は変化しないので、xの取りうる範囲は
−logａ(4+√15)≦x≦logａ(4+√15)＿⑨
となる。
(2)
a>1のとき、問題文から⑩である。
0≦(logay)+x≦loga2＿⑩
⑩の各辺の指数関数を取ると、
1≦y･a^x≦2＿⑪
各辺をa^xで割ると
a^(−x)≦y≦2 a^(−x)＿⑫
ここでxがある定数であれば
⑫を満たすとき、yの最大値と最小値は
最大値y=2 a^(−x)=2/ｚ＿⑬
最小値y= a^(−x)=1/ｚ＿⑭
xが⑨の変域の変数であれば、1/zの最大値は⑦より4+√15であるから、yの最大値は2/z =8+2√15
1/zの最小値は1で、yの最小値は1である。
ここでは、一応、答えは⑬⑭としておく。