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A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
aは定数とする。
cos^2 (X)+2asinX-a-1=0の0≦X<2πにおける異なる実数解の個数を求めよt=sinXとすると、cos^2 (X) = 1-sin^2 (X) = 1-t^2だから、
f(t) =1-t^2+2at-a-1=-t^2+2at-a=-(t-a)^2+ a^2-a__(1)
y= f(t)のグラフの放物線の頂点の座標は(a,a^2-a)である。
①tが変化する範囲は、-1≦sinX≦1 だから
-1≦t≦1__(2)
である。
②tとXの関係(図の上のグラフ参照): f(t) =0の解tがある時、t=sinXとなるXは1個または2個である。
t=1の時は、これに対応するXの値はX=π/2の1個,また、t=-1の時はX=3π/2の1個である。
-1<t<1のときは。これに対応するXの値は2個ある。
0<t<1の時、X1=arcsin(t)とX2=π-arcsin(t) の2個である。
-1<t<0の時、X3=π-arcsin(t) とX4=2π+arcsin(t)との2個である。
③f(t) =0の解の個数(図の下のグラフ参照) (i)左のグラフ(ii)中のグラフ(iii)右のグラフの3通りに分ける。
(i)左のグラフ:放物線の頂点の座標aが、tの変化する範囲の内側にある場合は、
-1<a<1__(3)
この場合は、f(-1) <0,f(a)>0,f(1) <0であれば、f(t) =0は異なる2個の根がある。
その条件はf(-1) =-3a-1<0よりa>-1/3,f(a) =D/4=a^2-a =a(a-1) >0より,a<0またはa>1,
f(1) = a-1 <0よりa<1。この条件がすべて成り立つためには(4)の条件となる。
-1/3<a<0__(4)
このとき、f(t) =0は異なる2個の根があり、tの2個の根に対応するXは4個となる。
式(4)のaの限界値として
a=-1/3__(5)
の時は、f(t) =-t^2-2t/3+1/3=-(t+1)(t-1/3)=0よりt=-1とt=1/3となる。t=-1に対応するXは1個しかないので、t=1/3に対応する2個のXと合わせて、Xの解は3個となる。
式(4)のもう一方のaの限界値として
a=0__(6)
の時は、f(t) =-t^2=0よりt=0となる。t=0に対応するXは2個あるので、Xの解は2個となる。
(ii)中のグラフ:f(-1) =-3a-1>0,f(1) = a-1 <0であれば、f(t) =0は1個の根がある。
その条件はf(-1) =-3a-1>0よりa<-1/3,f(1) = a-1 <0より,a<1。この条件がすべて成り立つためには(7)の条件となる。
a<-1/3__(7)
この時f(0) =-a>1/3だから、f(t) =0の根は0<t<1の間に根がある。Xの解は2個である。
(iii)右のグラフ; f(-1) =-3a-1<0,f(1) = a-1> 0であれば、f(t) =0は1個の根がある。
その条件はf(-1) =-3a-1<0より,a>-1/3。f(1) = a-1> 0より,a>1。この条件がすべて成り立つためには(8)の条件となる。
a>1__(8)
この時、f(0)=-a<-1だから、f(t) =0の根は0<t<1の範囲にある。Xの解は2個である。式(8)の限界値a=1__(9)
この時f(t) =-t^2+2t-a=-(t-1)^2=0はt=1が根で、X=π/2で、Xの解の個数は1である。
④(i)(ii)(iii)にないaの範囲は(10)で、この時D/4=a^2-a =a(a-1) <0だから実数根はない。
0<a<1__(10)
以上を式番号、a、Xの個数の形にまとめると
(7) (-∞<a<-1/3) 2,(5) (a=-1/3)1,(4) (-1/3<a<0)4,
(6) (a<0)2,(10) (0<a<1)0,(9) (a=1)1,(8) (1<a<∞)2
![「aは定数とする。cos²X+2asinX」の回答画像3](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/5/542555947_5ab4349ad5d14/M.png)
No.2
- 回答日時:
cos²X+2asinX-a-1=0, 0≦X<2π
0≦X<2π なので、sinX<-1, 1<sinX のときには解なし、sinX=±1 のとき解はそれぞれ1つ、-1<sinX<1 のとき解は2つとなる。
cos²X+2asinX-a-1=0
sin²X-2asinX+a=0
(sinX-a)²-a(a-1)=0
i) a≦-1 のとき
sinX=a-√a(a-1)<-1 となり不適
sinX=a+√a(a-1) とすると
-1≦a+√a(a-1)≦1 のとき解をもつ
-a-1≦√a(a-1)≦-a+1
-a-1≧0 なので
(a+1)²≦a(a-1)≦(a-1)²
a²+2a+1≦a²-a≦a²-2a+1
3a+1≦0≦-a+1
a≦-1/3
これは a≦-1 を満たすが等号は成立しない。
よって X の解は 2つ
ii) -1<a<1 のとき
-a(a-1)>0
(sinX-a)²-a(a-1)>0
となるため解なし
iii) a=1 のとき
sinX=1
X=π/2
の唯一つ
iv) a>1 のとき
sinX=a+√a(a-1)>1 となり不適
sinX=a-√a(a-1) とるすと
-1≦a-√a(a-1)≦1 のとき解をもつ
-a-1≦√a(a-1)≦-a+1
-a-1<0 なので左の不等号は常に成立する
a(a-1)≦(a-1)²
a²-a≦a²-2a+1
a≦1
となり不適
以上を整理すると
a≦-1 のとき解は 2つ
-1<a<1 のとき解なし
a=1 のとき解は 1つ
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No.1
- 回答日時:
あまり自信はありませんが、参考に。
cos²X+2asinX-a-1=0の0≦X<2π
1-sin²X+2asinX-a-1=0
-sin²X+2asinX-a=0
sinx=(-2a±√((2a)²
=(2a±√((2a)²-4a)/2
異なる実数解の条件
(2a)²-4a>0
ならばsinXは2個の解を持つ。
0≦X<2πの条件では一つのsinXの値に対してy軸に対象に2個の解があるので、
xは合計4個
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