aは定数とする。cos²Ｘ+2asinＸ-a-1＝０の０≦Ｘ＜2πにおける異なる実数解の個数を求めよ

aは定数とする。cos²Ｘ+2asinＸ-a-1＝０の０≦Ｘ＜2πにおける異なる実数解の個数を求めよ。


説明お願いします

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/03/23 07:58

aは定数とする。

cos^2 (Ｘ)+2asinＸ-a-1＝０の０≦Ｘ＜2πにおける異なる実数解の個数を求めよ
t=sinＸとすると、cos^2 (Ｘ) = 1－sin^2 (Ｘ) = 1－t^2だから、
f(t) =1－t^2+2at－a－1=－t^2+2at－a=－(t－a)^2+ a^2－a＿＿(1)
y= f(t)のグラフの放物線の頂点の座標は(a，a^2－a)である。
①tが変化する範囲は、－1≦sinＸ≦1 だから
－1≦t≦1＿＿(2)
である。
②tとXの関係(図の上のグラフ参照): f(t) =0の解tがある時、t=sinＸとなるXは1個または2個である。
t=1の時は、これに対応するXの値はX=π/2の1個，また、t=－1の時はX=3π/2の1個である。
－1<t<1のときは。これに対応するXの値は2個ある。
0<t<1の時、X1＝arcsin(t)とX2=π－arcsin(t) の2個である。
－1<t<0の時、X3＝π－arcsin(t) とX4=2π+arcsin(t)との2個である。
③f(t) =0の解の個数(図の下のグラフ参照) (i)左のグラフ(ii)中のグラフ(iii)右のグラフの3通りに分ける。
(i)左のグラフ：放物線の頂点の座標aが、tの変化する範囲の内側にある場合は、
－1<a<1＿＿(3)
この場合は、f(－1) <0，f(a)>0，f(1) <0であれば、f(t) =0は異なる2個の根がある。
その条件はf(－1) =－3a－1<0よりa>－1/3，f(a) =D/4=a^2－a =a(a－1) >0より，a<0またはa>1，
f(1) = a－1 <0よりa<1。この条件がすべて成り立つためには(4)の条件となる。
－1/3<a<0＿＿(4)
このとき、f(t) =0は異なる2個の根があり、tの2個の根に対応するXは4個となる。
式(4)のaの限界値として
a=－1/3＿＿(5)
の時は、f(t) =－t^2－2t/3+1/3=－(t+1)(t－1/3)=0よりt=－1とt=1/3となる。t=－1に対応するXは1個しかないので、t=1/3に対応する2個のXと合わせて、Xの解は3個となる。
式(4)のもう一方のaの限界値として
a=0＿＿(6)
の時は、f(t) =－t^2=0よりt=0となる。t=0に対応するXは2個あるので、Xの解は2個となる。
(ii)中のグラフ：f(－1) =－3a－1>0，f(1) = a－1 <0であれば、f(t) =0は1個の根がある。
その条件はf(－1) =－3a－1>0よりa<－1/3，f(1) = a－1 <0より，a<1。この条件がすべて成り立つためには(7)の条件となる。
a<－1/3＿＿(7)
この時f(0) =－a>1/3だから、f(t) =0の根は0<t<1の間に根がある。Xの解は2個である。
(iii)右のグラフ; f(－1) =－3a－1<0，f(1) = a－1> 0であれば、f(t) =0は1個の根がある。
その条件はf(－1) =－3a－1<0より，a>－1/3。f(1) = a－1> 0より，a>1。この条件がすべて成り立つためには(8)の条件となる。
a>1＿＿(8)
この時、f(0)=－a<－1だから、f(t) =0の根は0<t<1の範囲にある。Xの解は2個である。式(8)の限界値a=1＿＿(9)
この時f(t) =－t^2+2t－a=－(t－1)^2=0はt=1が根で、X=π/2で、Xの解の個数は１である。
④(i)(ii)(iii)にないaの範囲は(10)で、この時D/4=a^2－a =a(a－1) <0だから実数根はない。
0<a<1＿＿(10)
以上を式番号、a、Xの個数の形にまとめると
(7) (－∞<a<－1/3) 2，(5) (a=－1/3)1，(4) (－1/3<a<0)4，
(6) (a<0)2，(10) (0<a<1)0，(9) (a=1)1，(8) (1<a<∞)2

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/03/21 08:40

cos²Ｘ+2asinＸ-a-1=０, ０≦Ｘ<2π

0≦X<2π なので、sinX<-1, 1<sinX のときには解なし、sinX=±1 のとき解はそれぞれ1つ、-1<sinX<1 のとき解は2つとなる。

cos²X+2asinX-a-1=0
sin²X-2asinX+a=0
(sinX-a)²-a(a-1)=0

i) a≦-1 のとき
sinX=a-√a(a-1)<-1 となり不適
sinX=a+√a(a-1) とすると
-1≦a+√a(a-1)≦1 のとき解をもつ
-a-1≦√a(a-1)≦-a+1
-a-1≧0 なので
(a+1)²≦a(a-1)≦(a-1)²
a²+2a+1≦a²-a≦a²-2a+1
3a+1≦0≦-a+1
a≦-1/3
これは a≦-1 を満たすが等号は成立しない。
よって X の解は 2つ

ii) -1<a<1 のとき
-a(a-1)>0
(sinX-a)²-a(a-1)>0
となるため解なし

iii) a=1 のとき
sinX=1
X=π/2
の唯一つ

iv) a>1 のとき
sinX=a+√a(a-1)>1 となり不適
sinX=a-√a(a-1) とるすと
-1≦a-√a(a-1)≦1 のとき解をもつ
-a-1≦√a(a-1)≦-a+1
-a-1<0 なので左の不等号は常に成立する
a(a-1)≦(a-1)²
a²-a≦a²-2a+1
a≦1
となり不適

以上を整理すると
a≦-1 のとき解は 2つ
-1<a<1 のとき解なし
a=1 のとき解は 1つ

No.1 回答者： jyuguritto 回答日時： 2018/03/20 22:06

あまり自信はありませんが、参考に。

cos²Ｘ+2asinＸ-a-1＝０の０≦Ｘ＜2π
1-sin²Ｘ+2asinＸ-a-1＝０
-sin²X+2asinX-a=0
sinx=(-2a±√((2a)²
=(2a±√((2a)²-4a)/2
異なる実数解の条件
(2a)²-4a>0
ならばsinXは2個の解を持つ。
０≦Ｘ＜2πの条件では一つのsinXの値に対してy軸に対象に2個の解があるので、
xは合計4個