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No.1
- 回答日時:
モーメントはM0=∫0→ℓ [w0√(1-(x/ℓ)^2)-(1/3)w0(1-x/ℓ)]xdx_(1)
=-(1/3)w0 ℓ^2|[1-(x/ℓ)^2)]^3/2|0→ℓ
-(1/3)w0|(1/2)x^2-(1/3ℓ)x^3|0→ℓ
1行目の式の中の√の積分をIとする。
I以外の部分はxとx^2を、不定積分して、(1/2)x^2と(1/3)x^3とすればよい。
I=∫0→ℓ [w0√(1-(x/ℓ)^2)]xdx__(2)
(x/ℓ)^2=t__(3)と置いて、置換積分を行う。(3)の両辺を微分すると
2x/(ℓ^2)dx=dt、xdx=(ℓ^2)dt/2__(4)
(3)(4)を(2)に入れると
I=∫[w0√(1-t)](ℓ^2)dt/2
= -w0(ℓ^2)∫[√(1-t)] dt/2__(5)
さらに
1-t=y__(6)
とおいて置換積分をする。
-dt=dy__(7)
(6)(7)を(5)に入れると、不定積分は(8)となる。
I=-w0(ℓ^2)∫[√y] dy/2
=-(1/3)w0(ℓ^2)(y^3/2)+C __(8)
=-(1/3)w0(ℓ^2)((1-t)^3/2)+C
=-(1/3)w0(ℓ^2)[(1-(x/ℓ)^2)^3/2]+C
不定積分ができたので0→ℓの範囲の定積分は
I=-(1/3)w0 ℓ^2|[1-(x/ℓ)^2)]^3/2|0→ℓ
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