数学 曲線と接戦

放物線y=x^2を平行移動して得られる放物線のうち、曲線y=x^3と接点を持つものを全て考える。そのような放物線の頂点のy座標をYとするときの最大値を求めよ。ただし二曲線の接点とはそれら二曲線の共有点であり、かつその共有点で二曲線が共通の接点を持つものとする。

No.4 回答者： tsukita 回答日時： 2018/09/24 20:18

関心があってこのＱＡをブックマークしていました。

求めるのは、放物線の「頂点のｙ座標」の最大値だから
No1,No2で majimelon37さんが導いた
b=x^3－(9/4)x^4
の最大値でよいのでは？
この４次関数は最大値を持つわけですから。

No.3 回答者： springside 回答日時： 2018/09/24 19:41

これ、図を描けば一目瞭然で、y=x³に接する放物線（y=x²を平行移動したもの）は、接点が右上方向（x,yが増加する方向）にいくらでも大きくなり得るので、

その放物線の頂点の最大値は存在しない（いくらでも大きくなりうる）ということになる。

要するに、「解なし」というダメな問題だけど、誰が考えた問題ですか？

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/09/24 18:11

No.１は間違っているので撤回する。

y=x^2を平行移動した放物線と曲線y=x^3とが接する接点のy座標の最大値を求める。

任意のxに対して
Y=x^3＿①
と定める。この点の勾配は②である。
y'=3x^2＿②
y=x^2を右へa、上へb平行移動した放物線は③である。
y=(x－a)^2+b＿③
この曲線の勾配は④である。
y'=2(x－a)＿④
②と④が一致すると3x^2=2(x－a)から
a=x－(3/2)x^2＿⑤
①と③が等しいから、Y=x^3=(x－a)^2+bとなり
b=x^3－(x－a)^2=x^3－(3x^2/2)^2=x^3－(9/4)x^4＿⑥
xは任意で、それに対応するYは任意に大きいので、
上限はなく、最大値は存在しない。

No.1 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/09/24 12:12

y=x^2を平行移動した放物線と曲線y=x^3とが接する接点のy座標の最大値を求める。

答えy=1/27
y=x^3を式⓵とする。y=x^2を右へa、上へb平行移動した放物線は②である。
y=x^3＿⓵
y=(x－a)^2+b＿②
二つの曲線の交点は、⓵②の連立方程式から出るから、yを消去すると③となる。
x^3=(x－a)^2+b＿③
同じ点で両曲線が接するときは、③の両辺を微分して、勾配が等しいから④となる。
3x^2=2(x－a)＿④
④から(x－a)を求めて⑤となり、これを③に入れてbを求めると⑥となる。
x－a＝3ｘ^2/2＿⑤
b=x^3－(9/4)x^4＿⑥
bの最大値を求めるため、⑥をｘで微分して0と置くと、⑦となり、xは⑧となる。
db/dx=3x^2－9x^3=0＿⑦
x＝0またはx＝1/3＿⑧
x＝1/3を⓵に入れると、y=1/27＿⑨
となる。これが答えである。以下は検算。
x＝1/3を⑤に入れると、⑩によりa=1/6、
x＝1/3を⑥に入れると、⑪によりb=1/108となる。
1/3－a＝3(1/3)^2/2
a=1/3－3(1/3)^2/2=1/3－(1/3)/2=1/6＿⑩
b=x^3－(9/4)x^4=(1/3)^3－(9/4)(1/3)^4=(1－3/4)/27=1/108＿⑪
a,b,xを③に入れると、成立が確認できる。
x^3=(x－a)^2+b③は1/27=(1/3－1/6)^2+1/108=1/36+1/108=1/27＿⑫