数学

t=tanx/2とおき、sinx 、cosx、 dt/dx をtの式で表せ。
不定積分∫dx/13+5sinx+12cosxを求めよ。
3x²-4xy+y⁴=0の陰関数y=y(x)の極値を求めよ。

明日テストで困ってます、、お願いします、、

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/31 20:21

一応、書いてみました。

3x^2 - 4xy + y^4 = 0 を
(x,y)=(0,0) の近傍で 2次近似すると
x(3x - 4y) = 0 となります。
曲線は、この 2直線と接するのですが、
x = 0 も 3x - 4y = 0 も
x軸に平行でないので、
原点で y は極値ではありません。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/31 20:05

ふたつめ。

3x^2 - 4xy + y^4 = 0 を x で 2回微分して、
y'=0 となる点が
(x,y,y'') = (0,0,発散), ±(4/3√3, 2/√3, -9√3/8)
であることを求めるまでは簡単な計算だけど...

y(4/3√3) = 2/√3 が極大値、
y(-4/3√3) = -2/√3 が極小値 なのはよいとして、
x=0 の扱いがややこしい。(x,y)=(0,0) の近傍では、
この曲線は x軸 y軸の 2直線となっているので、
x 軸に接するほうの枝は陰関数の一部になり得ます。
結局、極値ではないのですが、この状況を
テストの答案に収まる字数と時間でサラッと書くには
どう記述したらよいのでしょう？ グラフでも書くかな？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/31 19:10

ひとつめは有名なやつです。

この例題をやってみると解るのですが、
sin x, cos x, dt/dx が全て t の分数式で表されるので、
被積分関数が sin x と cos x の分数式であるような積分は
この置換で分数式の積分に変換できるのです。
万能の計算法なので、かえって遠回りになることもありますが。
あとは、分数式の積分方法を知っていますか？ということです。

t = tan(x/2) と置くと、1 + t^2 = 1/cos^2 (x/2) です。
cos^2 (x/2) = 1/(1+t^2) を使って、倍角公式から
cos x = 2cos^2 (x/2) - 1 = 2/(1+t^2) - 1 = (1-t^2)/(1+t^2),
sin x = 2sin(x/2)cos(x/2) = 2tan(x/2)cos^2 (x/2) = 2t/(1+t^2).
(d/dθ)tanθ = 1/cos^2 θ より
dt/dx = {1/cos^2 (x/2)}(1/2) = (1+t^2)/2.

これを使って、
∫dx/(13 + 5sin x + 12cos x)
= ∫{(1+t^2)/(25+10t+t^2)}{2/(1+t^2)}dt
= ∫{2/(5+t)^2}dt
= -2/(5+t) + C　　(Cは定数)
= -2/(5+tan(x/2)) + C.

今回は、分数式の積分の面倒くさい部分は登場しませんでした。