(1)sin^3x＋cos^3x=1のときsinx＋cosxの値 (2) (1)sin^3x＋cos

(1)sin^3x＋cos^3x=1のときsinx＋cosxの値
(2) (1)sin^3x＋cos^3x=1のときsin^4x＋cos^4xの値
このふたつが分かりません。よろしくお願いします。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/03/08 22:29

(1)は、

(sinx+cosx)^2
=(sinx)^2 + 2sinxcosx + (cosx)^2
=1+2sinxcosx

p=sinx+cosx, q=sinxcosxとすると、

p^2=1+2q
2q=p^2 - 1
q=(p^2 - 1)/2

また、p, qのとりうる範囲は、
p=sinx+cosx
=√2((1/√2)sinx+(1/√2)cosx)
=√2sin(x+π/4)

よって、-√2≦p≦√2

q=sinxcosx
=(1/2)×2sinxcosx
=(1/2)sin2x

よって-1/2≦q≦1/2

(sinx+cosx)^3
=(sinx)^3 +3cosx(sinx)^2 + 3sinx(cosx)^2 + (cosx)^3
=1+3(sinxcosx)(sinx+cosx)
p^3=1+3pq

p^3=1+3p((p^2 - 1)/2)
2p^3=2 + 3p^3 - 3p
p^3 - 3p + 2=0
(p-1)(p^2 + p - 2)=0
(p+2)(p-1)^2=0

-√2≦p≦√2より、p=1
q=(1^2 - 1)/2=0

ゆえに、sinx+cosx=1

(2)は、
((sinx)^3 + (cosx)^3)(sinx+cosx)
=(sinx)^4 + cosx(sinx)^3 + cosx(sinx)^3 + (cosx)^4
=(sinx)^4 + (cosx)^4 + (sinxcosx)((sinx)^2 + (cosx)^2)
=(sinx)^4 + (cosx)^4 + (sinxcosx)

(sinx)^3 + (cosx)^3=1
(1)より、sinx+cosx=1, sinxcosx=0から
1×1=(sinx)^4 + (cosx)^4 + 0

ゆえに、(sinx)^4 + (cosx)^4=1

この回答へのお礼

pとqのとりうる範囲の求め方がよく分かりません。

お礼日時：2019/03/10 13:34

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/03/08 22:42

sin^3x＋cos^3x

=(sinx+cosx)(sin^2x-sinx・cosx+cos^2x)
=(sinx+cosx)(1-sinx･cosx)

y=sinx+cosx 　とおくと、
y^2= sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+2sinxcosx
sinxcosx= (y^2-1)/2

元の式に代入して、
ｙ(1- (y^2-1)/2)=1
を解けばいけるんじゃないかな？

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2019/03/09 22:52

[1] 0≦x≦π/2の場合を考えると、

　　0≦sin(x)≦1, 0≦cos(x)≦1
だから
　　0≦(sin(x))^3≦(sin(x))^2≦1
　　0≦(cos(x))^3≦(cos(x))^2≦1
従って、
　　(sin(x))^3 + (cos(x))^3 ≦(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
であり、等号が成り立って(sin(x))^3 + (cos(x))^3 =1となるのはsin(x) = 1, cos(x) = 0 の場合と、sin(x) = 0, cos(x) = 1 の場合だけ。

[2] π/2＜x＜πの場合を考えると
　　0＜sin(x)＜1, -1＜cos(x)≦0
だから
　　0＜(sin(x))^3＜(sin(x))^2＜1
　　(cos(x))^3＜0＜(cos(x))^2＜1
従って、
　　(sin(x))^3 + (cos(x))^3 ＜(sin(x))^3＜(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
であり、この範囲に(sin(x))^3 + (cos(x))^3=1の解はない。

[3] 関数の対称性・周期性を考えれば、結局 (sin(x))^3 + (cos(x))^3 =1 となるのは sin(x) = 1, cos(x) = 0 の場合と、sin(x) = 0, cos(x) = 1 の場合だけだとわかる。

[4]なので、どんな正の整数n, mについても、(sin(x))^3 + (cos(x))^3=1 ならば
　　(sin(x))^n + (cos(x))^m = 1

No.4 回答者： Dr-Field 回答日時： 2019/03/10 00:21

簡単に表記するため、sinx=S、cosx＝C とします。

また、0≦x＜2πとします。

（１）
S^3＋C^3＝(S^2＋C^2)(S＋C)－SC(S＋C)
＝(S＋C)(1－SC)＝1

ところで、(S＋C)^2＝S^2＋2SC+C^2＝1＋2SC より、SC＝{(S+C)^2－1}／2 は成立する。
S+C＝tとおくと、S＋C＝√2･sin(x＋π/4)より、－√2≦t≦√2であるが、
t・{1－(t^2－1)／2}＝1
t(2－t^2＋1)＝2
t^3－3t＋2＝0
(t－1)(t^2＋t－2)＝0
(t－1)(t－1)(t＋2)＝0
t＝1、－2
先の－√2≦t≦√2 より、sinx＋cosxの値は1
この時のxの値は sin(x＋π/4)＝1／√2 → x＋π/4＝π/4 か x＋π/4＝3π/4→ x＝0 か x＝π/2
(つまり、S＝0とC＝1の組み合わせ、もしくはS＝1とC＝0の組み合わせの２通りしかない。)


（２）S^3＋C^3＝1ならば、(1)より、{S＝1、C＝0}か{S＝0、C＝1}の場合しかなく、これらはいずれもS~4＋C^4＝1となる。

No.5 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/03/10 14:25

ANo.1です。

>pとqのとりうる範囲の求め方がよく分かりません。

元になっているのはsin,cosの値の範囲と加法定理です。

実数XにおけるsinX, cosXの値の範囲は
-1≦sinX≦1
-1≦cosX≦1

になります。

加法定理は以下を指し、三角関数を扱う上で重要な式になります。
※tanの加法定理もありますが、sin,cosから計算できますので省略します。
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

pについては、sin(A+B)の加法定理にA=x, B=π/4(45°)を代入して
sin(x+π/4)=sinxcos(π/4)+cosxsin(π/4)

sin(π/4)=cos(π/4)=1/√2なので、
sin(x+π/4)=(1/√2)sinx+(1/√2)cosx

両辺に√2をかけると、
√2sin(x+π/4)=sinx+cosx=p

-1≦sinX≦1から√2倍した√2sin(x+π/4)=pの値の範囲は、-√2≦p≦√2になります。

qについては、sin(A+B)の加法定理にA=x, B=xを代入して
sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx
sin2x=2sinxcosx

両辺を2で割ると、
(1/2)sin2x=sinxcosx=q

-1≦sinX≦1から1/2にした(1/2)sin2x=qの値の範囲は、-1/2≦q≦1/2になります。