sinθ+cosθ=1/sinθを解けという問題なのですが 両辺×sinθをすると、sin^2θ+s

sinθ+cosθ=1/sinθを解けという問題なのですが
両辺×sinθをすると、sin^2θ+sinθcosθ=1
sinθ(sinθ+cosθ)=1となりました。sinθ=1は分かるのですが、カッコ内のsinθとcosθの値がわかりません。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2019/03/29 21:47

> sinθ=1は分かるのですが、

分かっていません。
間違いです。

例えば、ざっくり計算だけれど、sin θ = 0.9 で、sin θ + cos θ = 1.1 の時、0.9 * 1.1 = 0.99 となって、この近くに、方程式を満たす解が、ありそうだよね。つまり sin θ = 0.9 の近くに解があって、あなたが考えた sin θ = 1 は間違いです。

三角関数の倍角の公式を使って sinθcosθを変換しましょう。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/03/29 21:47

その解き方だとかえって面倒です。

sinθ≠0として、
(sinθ)^2 + sinθcosθ=1

(sinθ)^2 + (cosθ)^2 =1より、

1 - (cosθ)^2 + sinθcosθ=1
(cosθ)^2 - sinθcosθ=0
cosθ(cosθ-sinθ)=0

cosθ=0
θ=(π/2)+kπ（k：整数）

cosθ-sinθ=0
√2((1/√2)cosθ-(1/√2)sinθ)=0
√2(cosθcos(π/4)-sinθsin(π/4))=0

加法定理cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBより、
√2cos(θ+(π/4))=0
cos(θ+(π/4))=0
θ+(π/4)=(π/2)+kπ
θ=(π/4)+kπ（k：整数）

ゆえに、θ=(π/2)+kπ, (π/4)+kπ（k：整数）

No.3 回答者： springside 回答日時： 2019/03/30 10:30

>>sinθ(sinθ+cosθ)=1となりました。

sinθ=1は分かるのですが、
これは間違い。AB=1だからといって、A=1とは限らないでしょ。

以下、0≦θ<2πとします。

打ち込むのが面倒なので、sinθ=s、cosθ=cとおくと、
s+c=1/s
s²+sc=1
1-c²+sc=1　（∵s²+c²=1）
c(c-s)=0

よって、cosθ=0、cosθ=sinθ
cosθ=0より、θ=π/2、(3/2)π
cosθ=sinθより、θ=π/4、(5/4)π

以上により、答は、θ=π/4、π/2、(5/4)π、(3/2)π

No.4 回答者： koji25 回答日時： 2019/04/03 21:30

sinθ=1とは限りませんよ

逆にそっちになる確率のほうが少ないです
また(sinθ)^2+(cosθ)^2=1より
sinθcosθ=(cosθ)^2
となりますから
sinθ=cosθもしくはcosθ=0です
また、多分0＜θ＜180という条件もあると思います
なので
θ=45,135,90となります(弧度法表示するとθ=π/4,3π/4,π/2)