Aが２次正方行列とする。 (１)Aが正則であるならば、det（A）≠0である。（2）det（A）≠0

Aが２次正方行列とする。
(１)Aが正則であるならば、det（A）≠0である。（2）det（A）≠0ならば、Aが正則である。
これを示せ。

教えてください、お願いします。

No.1 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/14 05:20

行列Aは２次正方行列であるから、図１のように、２×２個の行材列要素をa､b､c､dと仮定する。

行列Bは行列要素をx､u､y､vと仮定する。
Aが正則であるとは、Aの逆行列が存在することである。そのとき、Aの逆行列を
Bとすると、図２のようにABは単位行列になる。行列の積を計算すると、
ax+by=1＿＿①
cx+dy=0＿＿②
au+bv=0＿＿③
cu+dv=1＿＿④
の4式が成立することになる。
①と②の連立方程式を解くために①×d－②×ｂを計算すると
(ad－bc)x=d＿＿⑤
①と②の連立方程式を解くために①×c－②×aを計算すると
(ad－bc)y=－c＿＿⑥
③と④の連立方程式を解くために③×d－④×ｂを計算すると
(ad－bc)u=－b＿＿⑦
③と④の連立方程式を解くために③×c－④×aを計算すると
(ad－bc)v=a＿＿⑧
(1)⑤⑥⑦⑧でad－bc=０ならば、a､b､c､dはすべて0となり
AB=OB=0は単位行列にならないから、Aが正則の仮定に反する。
ゆえにad－bc≠０
(2)逆にad－bc≠０なら、⑤⑥⑦⑧でx､y､u､vの解が存在するので
逆行列Bが存在し、Aは正則である。