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なんで4次方程式f(x)=0がx=2を重解にもつときの必要十分条件がf(2)=f´(2)=0なんですか?

A 回答 (4件)

#2 結論の訂正


以上から画像の通り ではなく
以上から 必要十分条件は質問文の通り です


ま、ざっくりとしたイメージではグラフを利用すると良いです。
y=f(x)のグラフを用いて(縦軸y、横軸x)
f(x)=0がx=2を重解にもつ状況を考えてください
y=f(x)のグラフとx軸は x=2で共有点を持たなければなりませんよね。→f(2)=0
でもそれだけでは重解とは言い切れません!
重解であるためには、グラフがx=2でx軸に接する必要があるのです(2次関数のグラフがx軸と接するとき、2次方程式の解は重解と言うことを参考にしてください)
x=2でx軸と接するという事は、グラフの傾きがx=2で0であるということです
従てf'(2)=0も必要という事になります。
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f(x)=0 が解 x=2 を重解に持つということは、x=2+h で置き換えると


f(2+h)=0 が解 h=0 を重解に持つということです。
剰余定理を二度使用すると、h についての多項式 f(2+h) が h^2 で割り切れる
ことと同値と判ります。(因数定理だと十分性が欠けてしまう。)
f(2+h) を展開して h の降冪に整理すると、定数項と一次項が 0 になっているわけです。
微分係数の定義を知っていれば、一次項の係数 = f’(2+0) であることは解るでしょう。
よって、必要十分。
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理解するには数Ⅲ程度の履修が必要です



f(x)=0がx=2を重解にもつ・・・条件Pとする
f(2)=f´(2)=0・・・条件Qとする

条件Pを式で表すとf(x)=a(x-2)²g(x) (g(x)はxの2次式)
f'(x)={a(x-2)²}'g(x)+a(x-2)²g'(x)=2a(x-2)g(x)+a(x-2)²g'(x)
従って
f(2)=0
f'(2)=0
これでP→Qは成り立つことが分かりました(Qは必要条件)

今度はQ→P(十分)の証明です
f(2)=0ならば
f(x)=b(x-2)h(x) (h(x)は3次式)
f'(x)=bh(x)+b(x-2)h'(x)
f'(2)=0ならば 
f'(x)=c(x-2)k(x) (k(x)は2次式)
→bh(x)+b(x-2)h'(x)=c(x-2)k(x)
h(x)=(1/b){c(x-2)k(x)-b(x-2)h'(x)}=(x-2)(1/b){ck(x)-bh'(x)}
→h(x)は(x-2)を因数に持つ
→f(x)=b(x-2)h(x) は(x-2)(x-2)=(x-2)²を因数に持つ
→f(x)=A(x-2)²G(x)型の式である
従てQ→Pga成り立つ(Qは十分条件)

以上から必要十分条件は画像の通りです
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y=f(x)のグラフを考えてください。


f(x)=0がx=2を重解にもつということは、y=f(x)のグラフがx軸とx=2で接するということです。
したがって、f(2)=f´(2)=0 となります。
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