A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
#1さま。
式変形が間違っていませんか?
>(sin x)(tan y) / { (sin x)^2 + (sin y)^2 }
= (1/xy) ((sin x)/x) ((tan y)/y) / { ((sin x)/x)^2 + ((sin y)/y)^2 }
展開したら
(sin x)*(tan y)/{y^2*(sin x)^2+x^2*(sin y)^2}
になりますが。
X=sin(x),Y=sin(y)と置くと
与式=(1/(cos(y))*XY/(X^2+Y^2)
となります。(x,y)→(0,0)のとき(X,Y)→(0,0),cos(y)→1ですのでXY/(X^2+Y^2)の極限を考えればよい。
X=r*cos(θ),Y=r*sin(θ)と置くと
X*Y/(X^2+Y^2)=sin(θ)*cos(θ)となり、この値はθによって変わる。よって(X,Y)→(0,0)の極限において収束しない。
#1の結果からは(x,y)→(0,0)の極限をとると絶対値が無限大に発散するが、上記の結果からは-1/2~1/2の範囲に収まる。
No.1
- 回答日時:
(sin x)(tan y) / { (sin x)^2 + (sin y)^2 }
= (1/xy) ((sin x)/x) ((tan y)/y) / { ((sin x)/x)^2 + ((sin y)/y)^2 }.
lim[x→0] (sin x)/x = 1,
lim[y→0] (tan y)/y = 1 より
lim[x→0,y→0] ((sin x)/x) ((tan y)/y) / { ((sin x)/x)^2 + ((sin y)/y)^2 }
= 1・1 / { 1^2 + 1^2 } = 1/2 が収束するので、
lim[x→0,y→0] (sin x)(tan y) / { (sin x)^2 + (sin y)^2 }
は発散する。
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