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平面 x+2y+z=0 の法線ベクトルとして (1,2,1) が取れるから、
R^3 の点 (p,q,r) を x+2y+z=0 へ正射影した像 (x,y,z) は
(x,y,z) = (p,q,r)+t(1,2,1) と書ける。 ←[1]
これが x+2y+z=0 上にあるのだから、代入して
(p+t)+2(q+2t)+(r+t)=0 より t = -(p+2q+r)/6. ←[2]
[2]を[1]へ代入して、像は
(x,y,z) = (p,q,r)-{ (p+2q+r)/6 }(1,2,1)
= (1/6)(5p-2q-r,-2p+2q-2r,-p-2q+5r). ←[3]
[3]の係数を眺めれば、
(p,q,r) を (x,y,z) へ写す一次変換の表現行列は、
(1/6)かける
5 -2 -1
-2 2 -2
-1 -2 5.
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