2016の大阪府大の数学の問題です。大問5の(1)です。 f(x)=∮(π/2→x)sinθlog(

2016の大阪府大の数学の問題です。大問5の(1)です。
f(x)=∮(π/2→x)sinθlog(sinθ)dθを求めよっていう問題です。　　以下　0<x<=π/2 です。
(自分の解答) (与式)=∮(π/2→x) (-cosθ)’log(sinθ)dθ=-cosxlog(sinx)+∮cos^2θ/sinθdθ
=-cosxlog(sinx)+∮(0→α)u^2/u^2-1du(:u=cosθで置換;π/2→θは0→αへ)
=-cosxlog(sinx)+cosx+1/2loglcosx-1/cosx+1l
となったのですが、
(模範解答) (与式)=1/2{(1-cosx)log(1-cosx)}-1/2{(1+cosx)log(1+cosx)-(1+cosx)}

でした。どこで間違ったのか教えてください！(試しにx=π/4入れてみると違う値が出たので、上の2式は変形しても同じ式にはなり得ないと思います)

質問者からの補足コメント

• π/2→xは　π/2からxまで　を表しています。

    補足日時：2020/03/04 09:41

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/03/04 04:32

ちょっと確認.

「π/2→x」は「x から π/2 まで」「π/2 から x まで」のどっち?

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/03/04 23:15

「π/2 から x まで」というのは, 「下が π/2 で上が x」ということでいいかな? ということは, x = π/2 を代入すると 0 になるはず. これと, 「微分して被積分関数になるかどうか」を確認してみたらどうだろうか.

ところで, その「模範解答」が不思議な形に見えるのは私だけだろうか.

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2020/03/05 18:50

模範解答からみてこうするんじゃないか？

つまり
log(sinθ)＝(1/2)log(sin²θ)＝(1/2)log(1-cos²θ)
＝(1/2){log(1-cosθ)＋log(1＋cosθ)}
とすれば
(sinθ)log(sinθ)の積分は1-cosθや1＋cosθを＝ｔとおいて
logｔの積分に帰着する。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2020/03/08 22:35

もうたぶんお気づきだろうけど（笑）

あなたの計算にまちがいはない。
ただ最後の
1/2loglcosx-1/cosx+1l　の絶対値をはずすとき
cosx＜1なので
1/2loglcosx-1/cosx+1l＝1/2log(1-cosx/cosx+1）　
となることに注意
なおわからんところあれば質問ください。