∫sin^5θ(sin^2φ)(cos^2φ)+(sin^3θ)(cos^2θ)dθ 中身を変形して

∫sin^5θ(sin^2φ)(cos^2φ)+(sin^3θ)(cos^2θ)dθ
中身を変形して積分出来る形にして欲しいです。すみません。先程の質問は条件が合わなかったみたいです。φは定数です。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/26 02:26

S = ∫{ (sin^5 θ)(sin^2 φ)(cos^2 φ) + (sin^3 θ)(cos^2 θ) }dθ

= ∫{ (sin^2 φ)(cos^2 φ)(sin^4 θ) + (cos^2 θ)(sin^2 θ) }(sin θ)dθ
ここで u = -cosθ と置くと、
S = ∫{ (sin^2 φ)(cos^2 φ)(1 - u^2)^2 + (u^2)(1 - u^2) }du　です。
これは、多項式の積分だから、できますね。
積分した後で u = -cosθ を代入しとくことも忘れずに。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/04/25 23:33

φは定数なのでA=(sinφ)^2 (cosφ)^2とすると、

∫A(sinθ)^5 + (sinθ)^3 (cosθ)^2 dθ
=∫A(sinθ)^5 + (sinθ)^3 (1 - (sinθ)^2) dθ
=∫A(sinθ)^5 + (sinθ)^3 - (sinθ)^5 dθ
=∫(A-1)(sinθ)^5 + (sinθ)^3 dθ
=(A-1)∫(sinθ)^5 dθ + ∫(sinθ)^3 dθ

I[n]=∫(sinθ)^n dθとすると、
I[n]=∫(sinθ)^(n-1) (sinθ)dθ
=(-cosθ)(sinθ)^(n-1) + ∫(n-1)(cosθ)^2 (sinθ)^(n-2) dθ
=(-cosθ)(sinθ)^(n-1) + ∫(n-1)(1-(sinθ)^2)(sinθ)^(n-2) dθ
=(-cosθ)(sinθ)^(n-1) + (n-1)∫((sinθ)^(n-2) - (sinθ)^n) dθ
=(-cosθ)(sinθ)^(n-1) + (n-1)∫(sinθ)^(n-2) dθ - (n-1)∫(sinθ)^n dθ
=(-cosθ)(sinθ)^(n-1) + (n-1)I[n-2] - (n-1)I[n]

nI[n]=(-cosθ)(sinθ)^(n-1) + (n-1)I[n-2]
I[n]=(-1/n)(cosθ)(sinθ)^(n-1) + ((n-1)/n)I[n-2]

(A-1)∫(sinθ)^5 dθ + ∫(sinθ)^3 dθ
=(A-1){(-1/5)(cosθ)(sinθ)^4 + (4/5)∫(sinθ)^3 dθ} + {(-1/3)(cosθ)(sinθ)^2 + (2/3)∫(sinθ) dθ}

ここまでやれば解けるでしょ。