双曲線の焦点を求める時はなぜ√a^2＋b^2で 楕円の焦点を求める時はなぜ√a^2-b^2なんですか

双曲線の焦点を求める時はなぜ√a^2＋b^2で
楕円の焦点を求める時はなぜ√a^2-b^2なんですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/05/19 10:05

なぜそのようになるかは、定義に従って導いてください。

ただ、覚え方としては次のように図で覚えておくと間違えません。
図をかいて確認してみて下さい。
焦点をF(c,0) , F'(-c,0) とします。[c>0]

双曲線は、2定点からの距離の差が一定 (2a) となる点の軌跡です。
x²/a²－y²/b²=1 (a>0 , b>0)
焦点 F(√(a²+b²),0) , F'(-√(a²+b²),0)
漸近線 y=±(b/a)x
原点を中心として半径ｃの円を描き、漸近線 y=(b/a)x との交点をA(a,b)、Aよりx軸におろした垂線
の足をH(a,0) とします。
△OAHにおいて、
OA²=OH²+AH²
c²=a²+b²
c=√(a²+b²)

楕円は、2定点からの距離の和が一定 (2a) となる点の軌跡です。
x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)
焦点 F(√(a²-b²),0) , F'(-√(a²-b²),0)
楕円とｙ軸との交点をB(0,b)とします。
BF=BF'
BF+BF'=2a
よって、
BF=a
△OBFにおいて、
BF²=OF²+OB²
a²=c²+b²
c²=a²-b²
c=√(a²-b²)

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2020/05/18 20:46

双曲線と楕円の 定義を 見直してください。

2つの定点からの距離の 差が一定の場合と、和が一定の場合の違いです。